Polinom: Rădăcina

1. Rădăcina polinomului

Rădăcinile unui polinom se obțin rezolvând ecuația \( P(X) = 0 \).

Dacă \( X = a \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(a) = 0 \)

Dacă \( X = 3 \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(3) = 0 \).
Dacă \( X = -27 \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(-27) = 0 \).

2. Exemplu Rezolvat

Fie polinomul \( P(X) = X^4 + a X^3 - X - 1 \), unde \( a \in \mathbb{Z} \). Aflați valoarea lui a, daca \( X = 1 \) este rădăcină a polinomului \(P(X)\).

\( P(1) = 0 \)
\(\Rightarrow 1^4 + a \cdot 1^3 - 1 - 1 = 0 \)
\( \Rightarrow 1 + a - 1 - 1 = 0 \)
\(\Rightarrow a = 1 \)

Răspuns: \( a = 1 \).

3. Rădăcina Dublă a Polinomului

O rădăcină \( X = a \) se numește rădăcină dublă dacă nu doar \( P(a) = 0 \), ci și derivata \( P'(a) = 0 \).

Alta metoda este de a imparti polinomul de doua ori la \(X - a\), si de a egala restul fiecarei impartiri la 0.

Exerciții

Aflați \(a\), dacă \(X=1\) este rădăcină a polinomului \(P(X) = X^4 + aX^3 - X - 1\).

Fie polinomul \(P(X) = -X^4 + 2mX^3 + (m^2+3)X^2 - 5mX + 6\), \(m \in \mathbb{R}\). Determinați \(m \in \mathbb{R}\), dacă \(X=-2\) este o rădăcină a lui \(P(X)\).

Fie polinomul \(P(X) = X^3 - X^2 - aX + 3\), \(a \in \mathbb{R}\). Determinați \(a \in \mathbb{R}\), dacă \(X=\sqrt{3}\) este o rădăcină a polinomului \(P(X)\).

Determinați valorile reale ale lui \(m\), astfel încât \(X=2\) să fie o rădăcină a polinomului \(P(X) = X^3 + mX^2 - 5X + 6\).

Fie polinomul \( P(X) = X^3 + (m-2)X^2 + (3-m)X - 6 \). Determinați \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât \( X = 3 \) să fie rădăcină a polinomului.

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + aX^2 - 7X + b \). Determinați \( a \) și \( b \) astfel încât \( X = 1 \) să fie rădăcină dublă.

Fie polinomul \( P(X) = X^4 - 5X^3 + kX^2 - 3X + 2 \). Determinați \( k \in \mathbb{R} \), astfel încât \( X = 1 \) să fie rădăcină.

Fie polinomul \( P(X) = X^3 + 4X^2 - 5X - 20 \). Determinați dacă \( X = -4 \) este rădăcină.

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + 3X^2 - 5X - 6 \). Determinați dacă \( X = -2 \) este rădăcină.

Fie polinomul \( P(X) = X^3 + (k-1)X^2 - kX - 2 \). Determinați \( k \in \mathbb{R} \), astfel încât \( X = -1 \) să fie rădăcină.

Fie polinomul \( P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6 \). Determinați dacă \( X = 3 \) este rădăcină.

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + 3X^2 - 5X - 6 \). Determinați dacă \( X = -2 \) este rădăcină.

Răspunsuri

\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle m = 1 \)

\( \displaystyle a = 3 \)

\( \displaystyle m = -1 \)

\( \displaystyle m = 5 \)

\( \displaystyle a = 3, \ b = -2 \)

\( \displaystyle k = 6 \)

\( \displaystyle da \)

\( \displaystyle k = 3 \)

\( \displaystyle da \)

Rezolvări

Dacă \( X = 1 \) este rădăcină, atunci \( P(1) = 0 \).
Calculăm \( P(1) \):
\( P(1) = 1^4 + a \cdot 1^3 - 1 - 1 = 1 + a - 1 - 1 \)
\( = a - 1 \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle a - 1 = 0 \)
\( \displaystyle a = 1 \).
Deci valoarea lui \( a \) este \( \displaystyle 1 \).

Dacă \( X = -2 \) este rădăcină, atunci \( P(-2) = 0 \).
Calculăm \( P(-2) \):
\( P(-2) = -(-2)^4 + 2m(-2)^3 + (m^2 + 3)(-2)^2 - 5m(-2) + 6 \)
\( = -16 + 2m(-8) + (m^2 + 3)(4) + 10m + 6 \)
\( = -16 -16m + 4m^2 + 12 + 10m + 6 \)
\( = 4m^2 -6m + 2 \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle 4m^2 - 6m + 2 = 0 \)
\( \displaystyle 2m^2 - 3m + 1 = 0 \)
Discriminantul: \( \displaystyle D = 9 - 8 = 1 \).
Rădăcinile:
\( m = \frac{3 \pm 1}{4} \)
\( m_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
\( m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
Deci valorile posibile ale lui m sunt \( \displaystyle 1 \) și \( \displaystyle \frac{1}{2} \).

Dacă \( X = \sqrt{3} \) este rădăcină, atunci \( P(\sqrt{3}) = 0 \).
Calculăm \( P(\sqrt{3}) \):
\( P(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - (\sqrt{3})^2 - a(\sqrt{3}) + 3 \)
\( = 3\sqrt{3} - 3 - a\sqrt{3} + 3 \)
\( = 3\sqrt{3} - a\sqrt{3} \)
\( = \sqrt{3} (3 - a) \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle \sqrt{3} (3 - a) = 0 \)
Deoarece \( \sqrt{3} \neq 0 \), rezultă \( \displaystyle 3 - a = 0 \)
\( \displaystyle a = 3 \).
Deci valoarea lui a este \( \displaystyle 3 \).

Dacă \( X = 2 \) este rădăcină, atunci \( P(2) = 0 \).
Calculăm \( P(2) \):
\( P(2) = 8 + m \cdot 4 - 5 \cdot 2 + 6 = 8 + 4m - 10 + 6 \)
\( = 4m + 4 \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle 4m + 4 = 0 \)
\( \displaystyle 4m = -4 \)
\( \displaystyle m = -1 \).
Deci valoarea lui m este \( \displaystyle -1 \).

Dacă \( X = 3 \) este rădăcină, atunci \( P(3) = 0 \).
Calculăm \( P(3) \):
\( P(3) = 27 + (m-2) \cdot 9 + (3-m) \cdot 3 - 6 \)
\( = 27 + 9(m-2) + 3(3-m) - 6 \)
\( = 27 + 9m - 18 + 9 - 3m - 6 \)
\( = (27 - 18 + 9 - 6) + (9m - 3m) \)
\( = 12 + 6m \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle 6m + 12 = 0 \)
\( \displaystyle 6m = -12 \)
\( \displaystyle m = -2 \).
Deci valoarea lui m este \( \displaystyle -2 \).

Pentru ca \( X = 1 \) să fie rădăcină dublă, trebuie \( P(1) = 0 \) și \( P'(1) = 0 \).
Derivata: \( \displaystyle P'(X) = 6X^2 + 2aX - 7 \).
Calculăm \( P(1) \):
\( P(1) = 2 + a - 7 + b = a + b - 5 = 0 \Rightarrow a + b = 5 \).
Calculăm \( P'(1) \):
\( P'(1) = 6 + 2a - 7 = 2a - 1 = 0 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \).
Înlocuim în prima ecuație:
\( \displaystyle \frac{1}{2} + b = 5 \Rightarrow b = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).
Deci valorile sunt \( \displaystyle a = \frac{1}{2} \), \( \displaystyle b = \frac{9}{2} \).

Dacă \( X = 1 \) este rădăcină, atunci \( P(1) = 0 \).
Calculăm \( P(1) \):
\( P(1) = 1 - 5 + k - 3 + 2 = k - 5 \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle k - 5 = 0 \Rightarrow k = 5 \).
Deci valoarea lui k este \( \displaystyle 5 \).

Verificăm dacă \( X = -4 \) este rădăcină calculând \( P(-4) \).
\( P(-4) = (-4)^3 + 4(-4)^2 - 5(-4) - 20 \)
\( = -64 + 64 + 20 - 20 = 0 \).
Deoarece \( P(-4) = 0 \), \( X = -4 \) este rădăcină.
Deci răspunsul este da.

Verificăm dacă \( X = -2 \) este rădăcină calculând \( P(-2) \).
\( P(-2) = 2(-8) + 3(4) - 5(-2) - 6 = -16 + 12 + 10 - 6 = 0 \).
Deoarece \( P(-2) = 0 \), \( X = -2 \) este rădăcină.
Deci răspunsul este da.

Dacă \( X = -1 \) este rădăcină, atunci \( P(-1) = 0 \).
Calculăm \( P(-1) \):
\( P(-1) = -1 + (k-1)(1) - k(-1) - 2 = -1 + k - 1 + k - 2 = 2k - 4 \).
Punem egal cu 0:
\( \displaystyle 2k - 4 = 0 \)
\( \displaystyle 2k = 4 \)
\( \displaystyle k = 2 \).
Deci valoarea lui k este \( \displaystyle 2 \).

Verificăm dacă \( X = 3 \) este rădăcină calculând \( P(3) \).
\( P(3) = 27 - 6 \cdot 9 + 11 \cdot 3 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 \).
Deoarece \( P(3) = 0 \), \( X = 3 \) este rădăcină.
Deci răspunsul este da.

Cuprins

Explicație
Exerciții