Monotonia Șirului
Definiție
Monotonia unui șir descrie comportamentul acestuia în funcție de creșterea sau scăderea valorilor termenilor. Monotonia unui șir \((x_n)_{n \geq 1}\) poate fi determinată analizând diferența dintre doi termeni consecutivi, \(x_{n+1} - x_n\):
- \(x_{n+1} - x_n > 0\) \(\implies\) șirul este crescător.
- \(x_{n+1} - x_n < 0\) \(\implies\) șirul este descrescător.
Exemplu Rezolvat
Se consideră șirul \((x_n)_{n \geq 1}\), unde: \[ x_n = \frac{6 - n}{5n + 1}. \] De studiat monotonia acestui șir.
1. Calculul diferenței dintre termeni consecutivi
Determinăm \(x_{n+1} - x_n\):
\[ x_{n+1} = \frac{6 - (n+1)}{5(n+1) + 1} = \frac{5 - n}{5n + 6}. \] \[ x_{n+1} - x_n = \frac{5 - n}{5n + 6} - \frac{6 - n}{5n + 1}. \]Adunăm cele două fracții prin același numitor:
\[ x_{n+1} - x_n = \frac{(5 - n)(5n + 1) - (6 - n)(5n + 6)}{(5n + 6)(5n + 1)}. \]2. Extinderea produselor și simplificarea expresiei
\[ (5 - n)(5n + 1) = 25n + 5 - 5n^2 - n, \] \[ (6 - n)(5n + 6) = 30n + 36 - 5n^2 - 6n. \] \[ x_{n+1} - x_n = \frac{(25n + 5 - 5n^2 - n) - (30n + 36 - 5n^2 - 6n)}{(5n + 6)(5n + 1)}. \]Simplificăm termenii:
\[ x_{n+1} - x_n = \frac{-31}{(5n + 6)(5n + 1)}. \]3. Analiza semnului
Numitorul \((5n + 6)(5n + 1)\) este pozitiv pentru \(n > 1\), iar numărătorul este \(-31\), deci negativ. Rezultă:
\[ x_{n+1} - x_n < 0 \implies \text{șirul este descrescător}. \]Concluzie
Răspuns: Șirul \((x_n)\) este descrescător.
Exerciții
1
Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{3n+1}{4n+3}\)
2
Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{n^2}{2n+1}\)
3
Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, \, a_n = \frac{n}{n+1}\)
4
Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, \, a_n = \frac{2n}{n+1}\)