Item 4 - toate variantele posibile

Exerciții

Determinați valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care \( (1+i)xi + (2-3i)y = 3 - 2i \).

Fie \( z_1 \) și \( z_2 \) soluțiile complexe ale ecuației \( z^2 + (2 + i)z + 3 + i = 0 \). Determinați \( |z_1 + z_2| \).

Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).

Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{\cos^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\sin^2 x} \). Arătați că \(\displaystyle E\left( \frac{\pi}{6} \right) \) este număr natural.

Determinați numarul complex \(z\): \(z - 4\overline{z} = -2z - 3\overline{z} + 4 + 4i\)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (2 - 3i)(1 + 2i) - iz = i - z \).

Să se determine numerele complexe \( z \), care verifică relația \( z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0 \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{2\sin{2x} -4 + 8\cos{x} -2\sin{x}}{2\sin x - \sqrt{3}} = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^2 - 2(1 - i)z + 1 - 2i = 0 \).

Determinați numărul complex \( z = a + bi \), \( a, b \in \mathbb{R} \), \( i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \frac{2\overline{z}}{z + 5} = 3i, \) unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{\sin^2{x}-3\cos{x}+3}{\sqrt{16-x^2}} = 0 \)

Fie numărul complex \( z = 1 - 5i \). Arătați că \( w = z + 2i\overline{z} + 3i \) este un număr real, unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\sin^2 x -2\sin x + \operatorname{tg} x \cdot \cos x -1 = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \(3 + i\bar{z} = 2z\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

Determinați numarul complex \(z\): \(\overline{z} = 2z - 3 - 18i\)

Fie \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), astfel încât \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} \). Să se calculeze \( \sin 2\alpha \).

\(\text{Determinați valoarea expresiei} \, E(x) = 169 \sin(2x) - 50 tg x, \, \text{dacă} \, \sin x = \displaystyle \frac{12}{13}, \, x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}; \pi\right).\)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2x - x^2 + 3}} = 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( 2iz^2 + (4 - i)z - 1 - 3i = 0 \).

Calculați \( |z_1 - z_2| \), dacă se știe că numerele \( z_1 \) și \( z_2 \) sunt soluțiile ecuației \( z^2 - (5 - 2i)z + 5(1.5 - i) = 0 \).

Aflați valoarea expresiei \( \sin \alpha \cos \alpha \), știind că \( \sin \alpha + \cos \alpha = 0,6 \).

Determinați numărul \( z \in \mathbb{C} \), dacă \(\displaystyle \frac{\bar{z} + 7i}{z} = 6 \).

Aduceți la o formă mai simplă expresia \( E(x) = (1 - \sin^2 x) \cdot \operatorname{ctg}^2 x + 1 - \operatorname{ctg}^2 x \).

Determinați numerele complexe \( z = a + bi, a,b \in \mathbb{R}, i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} z + i && 1 - 2i \\ \overline{z} && 5 \end{vmatrix} = 10 + 20i. \)

Să se afle soluțiile ecuației \(\displaystyle 3 + 2 \sin^2 x - 5 \cos 4x = \frac{8}{1 + \operatorname{tg}^2 x}\), care aparțin intervalului \([\pi; 2\pi]\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2^{\cos 2x} = 3 \cdot 2^{\cos^2 x} - 4 \).

Fie expresia \(\displaystyle E(\alpha) = \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \). Să se afle \(\displaystyle E\left( \frac{\pi}{4} \right) \).

Determinaţi soluţiile reale ale ecuaţiei \( \sqrt{3} \cos x - \sin 2x = 0 \), care satisfac condiţia \( |x| < 2 \).

Determinați soluțiile reale ale ecuației \( \sin (2x) = 1 + \cos (2x) \), care aparțin intervalului \( [0, \pi] \).

Determinați valoarea expresiei \(E(\alpha) = 9 tg(\alpha) - 40\), dacă \(\sin(\alpha) = \displaystyle \frac{40}{41}\) și \(\alpha \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right)\).

Fie \( \displaystyle E(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos(\pi - \alpha) + \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} \). Arătați că \( \displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right) \) este un număr natural.

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\sin^2 x-3\cos x - 3 = 0 , \quad x \in \left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right) \)

Determinați valorile reale ale lui \( x \in \left(\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right) \), pentru care \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x-\cos x \mathrm{tg} \frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \)

Determinați numerele complexe \( z = a + bi \), \( a, b \in \mathbb{R}, \, i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} z + 2i && 3 - i \\ \overline{z} && 2 \end{vmatrix} = -6 - 20i. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2\sin 2x - 4 + 8\cos x - 2\sin x}{2\sin x - \sqrt{3}} = 0 \).

Calculați \( \displaystyle D\left(\frac{\pi}{8}\right) \), dacă \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \sin x - \cos x & 4\sin x \\ \sin x & 4\cos x \end{vmatrix}. \)

Fie expresia \( E(z) = pz^2 + p^2z + 2 - 6i \). Determinați valorile reale ale lui \( p \), pentru care \( E(1 + 2i) \) este un număr real nenul.

Fie numărul complex \( z = 1 + 3i \). Demonstrați că numărul \(\displaystyle u = \frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z} \) este real.

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\cos\left(\displaystyle \frac{\pi x}{4}\right) \sqrt{3x - x^2} = 0\).

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) ecuația \( 4\sin x = \sin 2x + 2\sin^2 x \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\cos^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{2}\sin 2x \).

Determinați valorile reale ale lui \( x \) și \( y \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} x - yi & 2 + i \\ 2x & i \end{vmatrix} = 1 + 2i \)

Să se rezolve în \( \mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle (1+i) z^{2}-(4+2 i) z+4=0\)

Determinați numărul de soluții reale ale ecuației \(\displaystyle \frac{13 \cos \alpha + 5}{5 tg \alpha + 12} = 0\), care aparțin intervalului \((-\pi, \pi)\).

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care numerele \( z_1 = x^2 + 4y - yi \) și \( z_2 = 4 + y - \frac{2}{i} - x^2 i \) vor fi conjugate.

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (1 + i)z^2 - (5 + 2i)z + 5 = 0 \).

Se știe că \( 3\bar{z} + 2z = 10 - 3i \). Determinați \( z \cdot \bar{z} \), unde \( \bar{z} \) reprezintă conjugatul numărului complex \( z \).

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care are loc egalitatea \(\displaystyle \frac{x-2 + (y-3)i}{1+i} = 1-3i \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 5\cos(2\alpha) - \frac{7}{60} tg(2\alpha) \), dacă se știe că \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) și \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x - \sin(3x)}{\sqrt{4x - x^2}} = 0 \).

Răspunsuri

Rezolvări

\(S=\{0\}\)
Pasul 1: Pentru ca fracția să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero:
\(\displaystyle \sin^2{x} - 3\cos{x} + 3 = 0\) si \(\displaystyle \sqrt{16-x^2} \neq 0\)
Pasul 2: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \cos x\):
\(\displaystyle 1 - \cos^2{x} - 3\cos{x} + 3 = 0\)
\(\displaystyle -\cos^2{x} - 3\cos{x} + 4 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle \cos^2{x} + 3\cos{x} - 4 = 0\)
Pasul 3: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \cos x\):
\(\displaystyle y^2 + 3y - 4 = 0\)
Pasul 4: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (y + 4)(y - 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -4\) sau \(\displaystyle y = 1\).
Pasul 5: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \cos x = -4\) sau \(\displaystyle \cos x = 1\)
Pasul 6: Analizăm soluțiile. Deoarece \(\displaystyle -1 \le \cos x \le 1\), \(\displaystyle \cos x = -4\) nu are soluții.
Pentru \(\displaystyle \cos x = 1\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Pasul 7: Verificăm condiția \(\displaystyle \sqrt{16-x^2} \neq 0\), adică \(\displaystyle 16 - x^2 > 0\), ceea ce înseamnă \(\displaystyle -4 < x < 4\).
Pentru \(\displaystyle x=0 (k=0) \), avem \(\displaystyle \sqrt{16-0^2} = 4 \)
Pasul 8: Scriem soluția finală:

Pasul 1: Simplificăm termenul \(\displaystyle \operatorname{tg} x \cdot \cos x\):
\(\displaystyle \operatorname{tg} x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x\)
Ecuația devine:
\(\displaystyle 2\sin^2 x - 2\sin x + \sin x - 1 = 0\)
\(\displaystyle 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \sin x\):
\(\displaystyle 2y^2 - y - 1 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 1)(y - 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle y = 1\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle \sin x = 1\)
Pasul 5: Găsim soluțiile pentru fiecare caz în intervalul dat \(\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\):
Pentru \(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6}\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = 0\)).
Pentru \(\displaystyle \sin x = 1\):
Soluția generală este \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Nu există soluții în intervalul \(\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\).
Pasul 6: Scriem soluția finală:

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate al ecuației este mulțimea \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \). Folosind formula \(1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\), ecuația se scrie: \[ 3 + 2 \sin^2 x - 5 \cos 4x = 8 \cos^2 x \] Aplicând formulele \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), \( \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 \), obținem: \[ 3 + 2 \cdot \frac{1-\cos 2x}{2} - 5(2\cos^2 2x - 1) = 8 \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} \] \[ 3 + 1 - \cos 2x - 10\cos^2 2x + 5 - 4 - 4\cos 2x = 0 \] \[ -10\cos^2 2x - 5\cos 2x + 5 = 0 \implies 2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 = 0 \] Notăm \( \cos 2x = t \), deci \( 2t^2 + t - 1 = 0 \) cu soluții \( t_1 = -1 \), \( t_2 = \frac{1}{2} \).
Ecuațiile devin: \( \cos 2x = -1 \) și \( \cos 2x = \frac{1}{2} \). Ecuația \( \cos 2x = -1 \) are soluții \( 2x = \pi + 2\pi k \), adică \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), dar pe intervalul \([\pi; 2\pi]\) singura soluție este \( x = \frac{3\pi}{2} \), care nu aparține domeniului de valabilitate. Ecuația \( \cos 2x = \frac{1}{2} \) are soluții \( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), adică \( x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n \). Pe intervalul \([\pi; 2\pi]\) se află soluțiile \( x_1 = \frac{7\pi}{6} \), \( x_2 = \frac{11\pi}{6} \).

Pasul 1: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \cos x\):
\(\displaystyle 2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x - 3 = 0\)
\(\displaystyle 2 - 2\cos^2 x - 3\cos x - 3 = 0\)
\(\displaystyle -2\cos^2 x - 3\cos x - 1 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \cos x\), pentru a transforma ecuația într-o ecuație de gradul al doilea:
\(\displaystyle 2y^2 + 3y + 1 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Putem folosi formula quadratică sau factorizarea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 1)(y + 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle y = -1\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle \cos x = -1\)
Pasul 5: Găsim soluțiile pentru fiecare caz în intervalul dat \(\displaystyle \left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right)\):
Pentru \(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = -\frac{4\pi}{3}\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = -1\) în \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)).
Pentru \(\displaystyle \cos x = -1\):
Soluția generală este \(\displaystyle x = (2k+1)\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = -\pi\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = -1\)).
Pasul 6: Scriem soluția finală:

Rezolvare:
Folosind formula \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), ecuația se scrie: \[ 2\cos^2 x + \sin^2 x = 3\sin x \cos x \] \[ \sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0 \] Împărțind cu \( \cos^2 x \) (dacă \( \cos x \neq 0 \)): \[ \operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0 \] Cu soluțiile \( t_1 = 1, t_2 = 2 \), deci \( \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( \operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n \), \( k, n \in \mathbb{Z} \).

\( \displaystyle \Delta = (4+2i)^2 - 4(1+i)(4) = 16 + 16i - 4 - 16 - 16i = -4 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 2i \)
\( \displaystyle z = \frac{4+2i \pm 2i}{2(1+i)} \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{4+4i}{2+2i} = \frac{2(2+2i)}{2+2i} = 2 \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{4}{2+2i} = \frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{2} = 1 - i \)

Rezolvare:
Fie \( z = a + bi \), \( \bar{z} = a - bi \). Înlocuim: \(\displaystyle 3(a - bi) + 2(a + bi) = 10 - 3i \implies 3a - 3bi + 2a + 2bi = 10 - 3i \implies 5a - bi = 10 - 3i \) Egalăm partea reală și imaginară: \(\displaystyle \begin{cases} 5a = 10 \implies a = 2 \\ -b = -3 \implies b = 3 \end{cases} \) Deci \( z = 2 + 3i \), \( \bar{z} = 2 - 3i \).
\(\displaystyle z \cdot \bar{z} = (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13 \)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări