Item 4 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \((1 + i)z = \bar{z} - 2\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).
2
Fie numărul complex \( z = 1 - 5i \). Arătați că \( w = z + 2i\overline{z} + 3i \) este un număr real, unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).
3
Fie matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} iz & 2i-1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.
4
Să se afle coeficienții reali \( p \) și \( q \), știind că \( z = 4 - 3i \) este soluție a ecuației \( z^2 + pz + q = 0 \).
5
Să se determine numerele reale \( x \) și \( y \) din relația \( (1-2i)x + (1+2i)y = 1 + i \).
6
Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (1 + i)z^2 - (5 + 2i)z + 5 = 0 \).
7
Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle (3 - i)z^2 - (4 - i)z + 2 = 0 \)
8
Să se rezolve în \( \mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle 2 z^{2}-(4+i) z+2+i^{5}=0\)
9
Fie \( \displaystyle d=\left|\begin{array}{lll}1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1\end{array}\right| \). Rezolvați în C ecuația \( \displaystyle z^{2}+2 z+d=0 \).
10
Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 5\cos(2\alpha) - \frac{7}{60} tg(2\alpha) \), dacă se știe că \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) și \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\).
11
\(\text{Calculați valoarea expresiei} \, E(\alpha) = \displaystyle \frac{4}{5} tg \alpha + \displaystyle \frac{5}{12} \sin(2\alpha), \, \text{dacă} \, \cos \alpha = -\displaystyle \frac{4}{5} \, \text{și} \, \alpha \in \left(-\pi, -\displaystyle \frac{\pi}{2}\right).\)
12
Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 25\sin(2\alpha) + 7 tg(2\alpha) \), dacă se știe că \( \displaystyle \cos \alpha = -\frac{3}{5}\) și \( \displaystyle \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\).
13
Calculați valoarea expresiei: \( E(x) = 3\sin2x + 4tg2x \), dacă \( \cos x = -\displaystyle \frac{3}{5} \) și \( x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right) \).
14
Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).
15
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x - \sin(3x)}{\sqrt{4x - x^2}} = 0 \).