Ecuații irationale (radicali)

Metoda de Rezolvare

Izolarea radicalului: Radicalul trebuie să fie singur în partea stângă a ecuației. \[ \sqrt{f(x)} = g(x) \]
Determinarea Domeniului de Valori Admisibile al Ecuației (DVA): Determinăm valorile pentru care radicalul și funcția de sub radical sunt definite: \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \end{cases} \]
Ridicarea la pătrat: Ridicăm ambele părți ale ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul: \[ \left( \sqrt{f(x)} \right)^2 = \left( g(x) \right)^2 \implies f(x) = g^2(x) \]
Verificarea soluțiilor: Soluțiile obținute se verifică pentru a vedea dacă se află în DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \(\mathbb{R}\):

\[ \sqrt{15 + 3x} + x = 1 \]

Izolăm radicalul: \[ \sqrt{15 + 3x} = 1 - x \]
Determinăm DVA: \[ \text{DVA: } \begin{cases} 15 + 3x \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \geq -15 \\ -x \geq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{-15}{3} \\ x \leq \frac{-1}{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -5 \\ x \leq 1 \end{cases} \]

Rezultă: \[ \text{DVA} = [-5; 1] \]
Ridicăm la pătrat: \[ \left( \sqrt{15 + 3x} \right)^2 = \left( 1 - x \right)^2 \implies 15 + 3x = 1 - 2x + x^2. \] Obținem: \[ x^2 - 5x - 14 = 0. \]
Rezolvăm ecuația de gradul 2: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \quad \sqrt{\Delta} = 9. \] Soluțiile sunt: \[ x_1 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7. \]
Verificăm soluțiile în D.V.A.: \[ x_1 = -2 \in [-5; 1], \quad x_2 = 7 \notin [-5; 1]. \] Rămâne doar \( x_1 = -2 \).

Răspuns: \(\mathbf{S = \{-2\}}\)

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x} + 2 = x\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle 6 \sqrt{x} - x = -16\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - x} = 2x\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 1} - 2x = 1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 2} - x = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x - 1} - x = -7\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{4x + 12} = x\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x^2 - 1} = 2\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - 2x^2} = 1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{6x - 4} = 0\)

Răspunsuri

\( S = \{ 4 \} \)

\( S = \{ 16 \} \)

\( S = \emptyset \)

\( S = \{ 0 \} \)

\( S = \{ -1 \} \)

\( S = \{ 5 \} \)

\( S = \{ 3 \} \)

\( S = \{ \pm \sqrt{5} \} \)

\( S = \{ \pm 1 \} \)

\( S = \{ \dfrac{2}{3} \} \)

Rezolvări

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{x} = x - 2 \)
DVA:
\( x \geq 0 \) și \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
Deci DVA: \( [2, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( x = (x - 2)^2 \)
\( x = x^2 - 4x + 4 \)
\( 0 = x^2 - 5x + 4 \)
\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
\( (x - 1)(x - 4) = 0 \)
Soluții candidate: \( x = 1 \), \( x = 4 \)
Verificăm în DVA:
\( x = 1 \notin [2, +\infty) \) → eliminăm
\( x = 4 \in [2, +\infty) \) → verificăm:
\( \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 4 \} \).

Izolăm radicalul:
\( 6 \sqrt{x} = x - 16 \)
DVA:
\( x \geq 0 \) și \( x - 16 \geq 0 \Rightarrow x \geq 16 \)
Deci DVA: \( [16, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( 36 x = (x - 16)^2 \)
\( 36x = x^2 - 32x + 256 \)
\( 0 = x^2 - 68x + 256 \)
\( x^2 - 68x + 256 = 0 \)
Discriminant: \( \Delta = 4624 - 1024 = 3600 = 60^2 \)
Soluții:
\( x = \dfrac{68 \pm 60}{2} \)
\( x_1 = 64 \), \( x_2 = 4 \)
Verificăm în DVA:
\( x = 4 \notin [16, +\infty) \) → eliminăm
\( x = 64 \in [16, +\infty) \) → verificăm:
\( 6 \sqrt{64} - 64 = 6 \cdot 8 - 64 = 48 - 64 = -16 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 64 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{3 - x} = 2x \)
DVA:
\( 3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \) și \( 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \)
Deci DVA: \( [0, 3] \)
Ridicăm la pătrat:
\( 3 - x = 4x^2 \)
\( 4x^2 + x - 3 = 0 \)
Discriminant: \( \Delta = 1 + 48 = 49 = 7^2 \)
Soluții:
\( x = \dfrac{-1 \pm 7}{8} \)
\( x_1 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \), \( x_2 = \dfrac{-8}{8} = -1 \)
Verificăm în DVA:
\( x = -1 \notin [0, 3] \) → eliminăm
\( x = \dfrac{3}{4} \in [0, 3] \) → verificăm:
\( \sqrt{3 - \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} \), \( 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \) → adevărat
Răspuns: \( S = \left\{ \dfrac{3}{4} \right\} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{x + 1} = 2x + 1 \)
DVA:
\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \) și \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\dfrac{1}{2} \)
Deci DVA: \( \left[-\dfrac{1}{2}, +\infty \right) \)
Ridicăm la pătrat:
\( x + 1 = (2x + 1)^2 \)
\( x + 1 = 4x^2 + 4x + 1 \)
\( 0 = 4x^2 + 3x \)
\( x(4x + 3) = 0 \)
Soluții: \( x = 0 \), \( x = -\dfrac{3}{4} \)
Verificăm în DVA:
\( x = -\dfrac{3}{4} \notin \left[-\dfrac{1}{2}, +\infty \right) \) → eliminăm
\( x = 0 \in \left[-\dfrac{1}{2}, +\infty \right) \) → verificăm:
\( \sqrt{0 + 1} - 0 = 1 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 0 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{x + 2} = x \)
DVA:
\( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \) și \( x \geq 0 \)
Deci DVA: \( [0, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( x + 2 = x^2 \)
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
Soluții: \( x = 2 \), \( x = -1 \)
Verificăm în DVA:
\( x = -1 \notin [0, +\infty) \) → eliminăm
\( x = 2 \in [0, +\infty) \) → verificăm:
\( \sqrt{2 + 2} - 2 = 2 - 2 = 0 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 2 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{x - 1} = x - 7 \)
DVA:
\( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \) și \( x - 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 7 \)
Deci DVA: \( [7, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( x - 1 = (x - 7)^2 \)
\( x - 1 = x^2 - 14x + 49 \)
\( 0 = x^2 - 15x + 50 \)
\( (x - 5)(x - 10) = 0 \)
Soluții: \( x = 5 \), \( x = 10 \)
Verificăm în DVA:
\( x = 5 \notin [7, +\infty) \) → eliminăm
\( x = 10 \in [7, +\infty) \) → verificăm:
\( \sqrt{10 - 1} - 10 = 3 - 10 = -7 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 10 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{4x + 12} = x \)
DVA:
\( 4x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \) și \( x \geq 0 \)
Deci DVA: \( [0, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( 4x + 12 = x^2 \)
\( x^2 - 4x - 12 = 0 \)
\( (x - 6)(x + 2) = 0 \)
Soluții: \( x = 6 \), \( x = -2 \)
Verificăm în DVA:
\( x = -2 \notin [0, +\infty) \) → eliminăm
\( x = 6 \in [0, +\infty) \) → verificăm:
\( \sqrt{4 \cdot 6 + 12} = \sqrt{36} = 6 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \{ 6 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{x^2 - 1} = 2 \)
DVA:
\( x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \)
Ridicăm la pătrat:
\( x^2 - 1 = 4 \)
\( x^2 = 5 \)
\( x = \pm \sqrt{5} \)
Verificăm în DVA:
\( \sqrt{5} \approx 2.236 > 1 \Rightarrow \pm \sqrt{5} \in DVA \)
Ambele soluții satisfac ecuația.
Răspuns: \( S = \{ -\sqrt{5}; \sqrt{5} \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{3 - 2x^2} = 1 \)
DVA:
\( 3 - 2x^2 \geq 0 \Rightarrow 2x^2 \leq 3 \Rightarrow x^2 \leq \dfrac{3}{2} \Rightarrow x \in \left[-\sqrt{\dfrac{3}{2}}, \sqrt{\dfrac{3}{2}} \right] \)
Ridicăm la pătrat:
\( 3 - 2x^2 = 1 \)
\( -2x^2 = -2 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Verificăm în DVA:
\( 1 \leq \sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx 1.224 \Rightarrow \pm 1 \in DVA \)
Ambele soluții satisfac ecuația.
Răspuns: \( S = \{ -1; 1 \} \).

Izolăm radicalul:
\( \sqrt{6x - 4} = 0 \)
DVA:
\( 6x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3} \)
Ridicăm la pătrat (sau observăm direct):
\( 6x - 4 = 0 \)
\( 6x = 4 \)
\( x = \dfrac{2}{3} \)
Verificăm în DVA:
\( x = \dfrac{2}{3} \geq \dfrac{2}{3} \) → adevărat
\( \sqrt{6 \cdot \dfrac{2}{3} - 4} = \sqrt{4 - 4} = 0 \) → adevărat
Răspuns: \( S = \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} \).

Cuprins

Explicație
Exerciții