Ecuații de gradul 2

Definiție

O ecuație de gradul 2 în mulțimea numerelor reale este de forma:

\( ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( a, b, c \in \mathbb{R} \) și \( a \neq 0 \).

Metoda de rezolvare

Pentru a rezolva ecuațiile de gradul 2, folosim discriminantul și formula generală:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \text{unde } \Delta = b^2 - 4ac. \]

Cazurile ecuației de gradul 2

1. \( \Delta > 0 \) (Două soluții)

Dacă discriminantul este pozitiv (\( \Delta > 0 \)), ecuația are două soluții:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

2. \( \Delta = 0 \) (O soluție)

Dacă discriminantul este egal cu zero (\( \Delta = 0 \)), ecuația are o singura soluție:

\[ x = \frac{-b}{2a}. \]

3. \( \Delta < 0 \) (Nici o soluție reală)

Dacă discriminantul este negativ (\( \Delta < 0 \)), ecuația nu are soluții reale.

Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):

Calculăm discriminantul: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Calculăm soluțiile: \[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]

Răspuns: \( S = \{ 2, 3 \} \)

Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 + x + 1 = 0 \):

Calculăm discriminantul: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \]
Deoarece \( \Delta < 0 \), nu există soluții reale.

Răspuns: \( S = \emptyset \)

Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 - 4x + 4 = 0 \):

Calculăm discriminantul: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Calculăm soluția: \[ x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Răspuns: \( S = \{ 2 \} \)

Exerciții

Rezolvați ecuația: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 - x - 12 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 - 3x + 2 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(2x^2 - 4x - 6 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 + 7x + 10 = 0\)

Rezolvați ecuația: \(x^2 - 2x - 15 = 0\)

Răspunsuri

\( S = \{ 2; 3 \} \)

\( S = \{ 1; 3 \} \)

\( S = \{ 3 \} \)

\( S = \{ 2; -4 \} \)

\( S = \{ 4; -3 \} \)

\( S = \{ -2; -3 \} \)

\( S = \{ 1; 2 \} \)

\( S = \{ -1; 3 \} \)

\( S = \{ -2; -5 \} \)

\( S = \{ 5; -3 \} \)

Rezolvări

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
Deoarece \( \Delta = 1 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( S = \{ 2; 3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \)
Deoarece \( \Delta = 4 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{4 - 2}{2} = 1 \)
\( x_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3 \)
Răspuns: \( S = \{ 1; 3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \)
Deoarece \( \Delta = 0 \), ecuația are o singură soluție reală (dublă).
Folosim formula:
\( x = \dfrac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( S = \{ 3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
Deoarece \( \Delta = 36 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-2 \pm 6}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4 \)
\( x_2 = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2 \)
Răspuns: \( S = \{ 2; -4 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
Deoarece \( \Delta = 49 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{1 \pm 7}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{1 - 7}{2} = -3 \)
\( x_2 = \dfrac{1 + 7}{2} = 4 \)
Răspuns: \( S = \{ 4; -3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
Deoarece \( \Delta = 1 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{-5 \pm 1}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{-5 - 1}{2} = -3 \)
\( x_2 = \dfrac{-5 + 1}{2} = -2 \)
Răspuns: \( S = \{ -2; -3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
Deoarece \( \Delta = 1 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{3 \pm 1}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1 \)
\( x_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2 \)
Răspuns: \( S = \{ 1; 2 \} \).

Împărțim ecuația cu 2 pentru simplificare:
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
Deoarece \( \Delta = 16 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1 \)
\( x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \)
Răspuns: \( S = \{ -1; 3 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
Deoarece \( \Delta = 9 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{-7 \pm 3}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{-7 - 3}{2} = -5 \)
\( x_2 = \dfrac{-7 + 3}{2} = -2 \)
Răspuns: \( S = \{ -2; -5 \} \).

Calculăm discriminantul:
\( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)
Deoarece \( \Delta = 64 > 0 \), ecuația are două soluții reale.
Folosim formula:
\( x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{2 \pm 8}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{2 - 8}{2} = -3 \)
\( x_2 = \dfrac{2 + 8}{2} = 5 \)
Răspuns: \( S = \{ 5; -3 \} \).

Cuprins

Explicație
Exerciții