Puteri

Puterea unui număr reprezintă rezultatul înmulțirii acelui număr cu el însuși de mai multe ori. Notația generală este:

\( a^n \), unde:

\( a \) este baza.
\( n \) este exponentul, sau "puterea"

Proprietățile Puterilor

\( a^0 = 1 \)
\( a^1 = a \)
\( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)
\(\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)
\( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \)
\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
\(\displaystyle a^{-1} = \frac{1}{a} \)
\(\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

Exemple simple

\(\displaystyle 13^0 = 1; \quad (-24)^0 = 1; \quad \left(-\frac{4}{6}\right)^0 = 1 \)
Explicație: Orice bază ridicată la puterea 0 este egală cu 1.
\(\displaystyle 4^1 = 4; \quad 16^1 = 16; \quad (-29)^1 = -29 \)
Explicație: Orice număr ridicat la puterea 1 rămâne același.
\(\displaystyle 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32 \)
Explicație: Adunăm puterile deoarece bazele sunt aceleași.
\(\displaystyle \frac{7^{14}}{7^{12}} = 7^{14-12} = 7^{2} = 49 \)
\(\displaystyle 3^{24} : 3^{20} = 3^{24-20} = 3^4 = 81 \)
Explicație: Scădem puterile pentru că bazele sunt identice.
\(\displaystyle (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64 \)
Explicație: În acest caz, puterile se înmulțesc.
\(\displaystyle (2 \cdot 4)^2 = 2^2 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64 \)
Explicație: Fiecare factor este ridicat separat la puterea dată.
\(\displaystyle \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{8^2}{5^2} = \frac{64}{25} \)
Explicație: Atât numărătorul, cât și numitorul sunt ridicați separat la puterea indicată.

Exemplu complex rezolvat

Calculați valoarea expresiei:

\[ 3^{-1} \cdot 2 + \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} + \left(\frac{5}{4}\right)^{3,5} \cdot (0,8)^{3,5}. \]

Rezolvare:

\[ \frac{1}{3} \cdot 2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{10}\right)^{3,5}. \]
\[ \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \left(\frac{40}{40}\right)^{3,5}. \]
\[ \frac{6}{9} + \frac{4}{9} + 1^{3,5} \]
\[ \frac{10}{9} + 1 \]
\[ \frac{10}{9} + \frac{1}{1} \]
\[ \frac{10}{9} + \frac{9}{9} \]
\[\frac{19}{9}\]

Răspuns: \(\displaystyle \frac{19}{9} \).

Exerciții

Calculati: \(\displaystyle 8^{-\frac{2}{3}} + 0,75\)

Calculati: \(\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{4}} + 9^{\frac{1}{2}} + 207^0\)

Calculati: \(\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} + (0,25)^{-2}\)

Calculati: \(\displaystyle \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 2^{-3}\)

Calculati: \(\displaystyle \left[ \left( 1 \frac{1}{2} \right)^{-1} - 3^{-1} \right]^{-2}\)

Calculati: \(\displaystyle \left( \frac{14}{3} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \left( \frac{7}{6} \right)^{-1,5}\)

Calculati: \(\displaystyle \frac{5^9}{25^4} + \left(1\frac{1}{2}\right)^{-2}\)

Calculati: \(\displaystyle 9^{-1} \cdot 2 + \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} + \left( \frac{5}{3} \right)^{4,5} \cdot 0,6^{4,5}\)

Calculati: \(\displaystyle \left( 25^{\frac{3}{2}} + (0,5)^{-2} \right) : \left( \frac{1}{3} \right)^{-1}\)

Cuprins

Explicație
Exerciții