Item 2 - toate variantele posibile

Exerciții

Determinati valorile reale ale lui \(a\), pentru care \(X=-4\) este radacina a polinomului \(P(X) = X^3 - X^2 + (a-3)X + 4\).

Restul împărțirii polinomului \( P(X) = -5X^3 + 2X^2 + a \) la binomul \( Q(X) = X-3 \) este egal cu -114. Să se afle restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( R(X) = X+2 \).

Să se determine partea reală a numărului complex \(\displaystyle z = \frac{8 - 9i}{-5 + 2i} \).

\(\displaystyle \bar{z}=4 i^{5}-(1-i)(3+5 i), z-?\)

Fie numărul complex \( z = (2-i)^2 - 3(1-i) \). Să se afle \( z \cdot \bar{z} \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \) pentru care polinomul \( P(X) = 2X^5 + 5X^2 - m \) se divide cu binomul \( X+2 \).

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + (a - 2)X^2 - 3aX + 10 \). Determinați valoarile reale \( a \), știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( Q(X) = X - 2 \) este 4.

Aflăți restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=2 X^{2}+X-1 \) la \( Q(X)=X+3 \)

Restul împărţirii polinomului \( P(X)=X^{4}+2 X^{3}-m X^{2}+X+5, m \in R \), la binomul \( X+2 \) este 3. Determinaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-3 \).

Determinați valorile reale ale lui \(a\) și \(b\) pentru care \(\displaystyle (1+i)ai+(2-3i)b=3-2i \)

Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X-1 \) și la binomul \( X+2 \), se obţin resturile 5 , respectiv 17. Aflaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la \( X-2 \).

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2 - 3i)^2 + (3 + i)(3 - i) \).

Încercuiți litera A, dacă propoziția este adevărată, sau litera F, dacă propoziția este falsă:
„Valoarea expresiei \(\displaystyle \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^8 \) este un număr natural.” A F

\(\displaystyle (1+i) z=4+i\)

Determinați partea imaginară a numărului complex \(\displaystyle z = \frac{1 + i}{1 - i} \).

Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} \displaystyle iz & 5i - 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.

Determinați numarul complex \(z\): \(z(2 - 2i) = i\)

Scrieți în formă algebrică numărul complex \(\displaystyle z = \frac{25}{(2 - i)^2} \).

Determinați restul împărțirii polinomului: \( P(X) = 3X^3 + aX^2 - 2a X + 8 \) la binomul \( X + 2 \), știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la \( X + 1 \) este \( 2 \).

Determinați numarul complex \(z\), știind:
\(\overline{z} = (1 + i)(2 - i) + 3i^5\), unde \(i^2 = -1\), iar \(\overline{z}\) este conjugatul lui \(z\).

Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( X = -1 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = X^3 - X^2 + (a - 2)X + 1 \).

Determinați conjugatul numărului complex \( \displaystyle z = \left| \begin{array}{cc} 3-2i & i \\ 5 & 3+2i \end{array} \right| \), unde \( i^2 = -1 \).

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 2X^3 + X^2 - 5X + 1 \) la binomul \( X - 2 \).

Determinați modulul numărului complex \( z = \displaystyle \frac{2 + 9i}{5 - 3i} \)

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2+i)(3-2i) - (1-2i)(2-i) \).

Determinați produsul dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( z = \dfrac{2 - 4i}{1 + i} \), unde \( i^2 = -1 \).

Pentru ce valori reale ale lui \(x\) și \(y\) numerele \(\displaystyle z_1 = x^2+4y-iy \) și \(\displaystyle z_2 = 4+y-\frac{2}{i}-ix^2 \) sunt conjugate?

Fie numerele complexe \( z_1 = 1 + 2i \) și \( z_2 = 1 - i \). Arătați că numărul \( w = z_1^2 + 4z_2 \) este un număr natural.

Determinați numarul complex \(z\): \((3 + 2i)z + 5z = 4\)

Determinați numărul complex \(z=a+bi\), pentru care \(\displaystyle 3+i\cdot \bar{z}=2z \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Demonstrați că numărul \(\displaystyle z = \frac{25}{4+3i} + \frac{25}{4-3i} \) este întreg.

Fie \(\displaystyle \bar{z}=(1+i)(2+i)-2-5i \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Fie \( \overline{z} = (1 + i)(2 + i) - 2 - 5i \), unde \( \overline{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \). Determinați numărul complex \( z \).

Fie \( z = 2i - 5i^3 (1-i) + 4 \). Determinați conjugatul numărului complex \( z \).

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2+3i)^2 - (2-3i)^2 \).

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 5X^3 - X^2 - 12X + 10 \) la binomul \( X + 2 \).

Fie numărul \( z = 3i^7 + (2-i)^2 - 7 \). Determinați suma dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( z \).

Fie \( \displaystyle z=\left|\begin{array}{cc}2-i & 2+3 i \\ i & 1+2 i\end{array}\right| \). Determinați conjugatul numărului complex \( \displaystyle z \).

Determinați valorile reale ale lui \(p\), pentru care numărul \( z^2+pz \) este un număr real, unde \(z=2-3i\)

Determinați modulul numărului complex \( z = (1 + i)(-1 + 2i) + 3i \).

\(\displaystyle z=\frac{26}{2-3 i}-6 i, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)

Determinați numarul complex \(z\): \(3(z - 1) - 2(z + 2) = 5 - 8i\)

\(\displaystyle z=(1-2i)(1+i)-3i, |z| -?\)

Arătați că numărul \(\displaystyle z=3+i+\frac{2}{1+i} \) este un număr real.

Aflăți restul împărțirii polinomului \( P(X) = 3X^2 - mx + 15 \) la \( X - 4 \), știind că împărțit la \( X - 2 \) dă restul \(-3\).

Determinati \(a \in \mathbb{R}\), daca \(X=1\) este radacina a polinomului \(P(X) = X^2 - aX + 15\).

Fie \(\displaystyle z = \frac{15 + 20i}{2 + i} \). Determinați numărul \(\displaystyle w = \frac{\text{Im } z}{\text{Re } z} \).

Rezolvați în \(\mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle (1+2i)z=-5-5i \)

Fie \( z = \begin{vmatrix} 2-i & 2+3i \\ i & 1+2i \end{vmatrix} \). Aflați modulul numărului complex \( \bar{z} \).

Determinați restul împărțirii polinomului \(P(X) = X^3 - 2X^2 + 16\) la polinomul \(Q(X) = X^2 - 1\).

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Conform teoremei lui Bézout, avem \( P(1) = 5 \) și \( P(-2) = 17 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=1 \) și \( X=-2 \) în polinom:
\(\displaystyle P(1) = (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 3 = 5\)
\(\displaystyle 1 + a + b + 3 = 5\)
\(\displaystyle a + b = 1\)
\(\displaystyle P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 3 = 17\)
\(\displaystyle -8 + 4a - 2b + 3 = 17\)
\(\displaystyle 4a - 2b = 22\)
\(\displaystyle 2a - b = 11\)
Pasul 3: Rezolvăm sistemul de ecuații:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} a + b = 1 \\ 2a - b = 11 \end{array}\right.\)
Adunăm ecuațiile:
\(\displaystyle 3a = 12\)
\(\displaystyle a = 4\)
\(\displaystyle b = 1 - a = 1 - 4 = -3\)
Pasul 4: Deci, \( P(X) = X^3 + 4X^2 - 3X + 3 \). Calculăm restul împărțirii lui \( P(X) \) la \( X-2 \), adică \( P(2) \).
\(\displaystyle P(2) = (2)^3 + 4(2)^2 - 3(2) + 3 = 8 + 16 - 6 + 3 = 21\)

\( \displaystyle z = \frac{4+i}{1+i} = \frac{(4+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4 - 4i + i + 1}{2} = \frac{5 - 3i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i \)

\( \displaystyle 3 + i(a - bi) = 3 + ai + b \)
\( \displaystyle 2(a + bi) = 2a + 2bi \)
\( \displaystyle 3 + b + ai = 2a + 2bi \)
\( \displaystyle 3 + b = 2a \)
\( \displaystyle a = 2b \)
\( \displaystyle 3 + b = 4b \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1 \)
\( \displaystyle a = 2 \)
\( \displaystyle z = 2 + i \)

Rezolvare:
\(\displaystyle z = \frac{25}{4+3i} + \frac{25}{4-3i} = \frac{25(4-3i) + 25(4+3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{100-75i+100+75i}{16-9i^2} = \frac{200}{16+9} = \frac{200}{25} = 8 \in \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle (1+i)(2+i) = 2 + i + 2i - 1 = 1 + 3i \)
\( \displaystyle \bar{z} = 1 + 3i - 2 - 5i = -1 - 2i \)
\( \displaystyle z = \overline{-1 - 2i} = -1 + 2i \)

\( \displaystyle z = (2-i)(1+2i) - i(2+3i) = 2 + 4i - i + 2 - 2i - 3i^2 = 4 + 3i - 2i + 3 = 7 + i \)
\( \displaystyle \bar{z} = 7 - i \)

\( \displaystyle z^2 = (2-3i)^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i \)
\( \displaystyle pz = p(2-3i) = 2p - 3pi \)
\( \displaystyle z^2 + pz = -5 - 12i + 2p - 3pi = (-5 + 2p) + (-12 - 3p)i \)
Pentru ca numărul să fie real, partea imaginară trebuie să fie 0:
\( \displaystyle -12 - 3p = 0 \Rightarrow -3p = 12 \Rightarrow p = -4 \)

\( \displaystyle z = \frac{26(2+3i)}{4+9} - 6i = \frac{26(2+3i)}{13} - 6i = 2(2+3i) - 6i = 4 + 6i - 6i = 4 \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 4, \operatorname{Im}(z) = 0 \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(z) = 0 \)

\( \displaystyle z = 1 + i - 2i + 2 - 3i = 3 - 4i \)
\( \displaystyle |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( \displaystyle \frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i \)
\( \displaystyle z = 3 + i + 1 - i = 4 \)

\( \displaystyle z = \frac{-5-5i}{1+2i} = \frac{(-5-5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-5 + 10i - 5i - 10}{1 + 4} = \frac{-15 + 5i}{5} = -3 + i \)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări