Item 1 - toate variantele posibile

Exerciții

Calculați: \(\displaystyle \left(\frac{8}{3}\right)^{2} \cdot\left(-\frac{3}{16}\right)\)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{625}}{25^{-\frac{1}{10}}}\).

Calculați valoarea expresiei: \( 25^{\log_5 3 \sqrt{5} - \log_5 \sqrt{3}} \)

Calculati: \(\displaystyle \sqrt[3]{16^{\frac{3}{4}} + 9^{\log_3 \sqrt{19}}}\)

Arătați că numărul \( a \) este întreg: \( a = 2 \log_3 5 + \log_{\frac{1}{3}} 75 \)

Calculati: \(\displaystyle \log_3 36 - 2 \log_3 2\)

Calculați: \(\log_{\frac{1}{8}} \sqrt[4]{32} + \displaystyle \frac{5}{12}\)

Calculați: \(\displaystyle \frac{2^{\log_2 15}}{25^{0.5 \log_5 10}}\)

Calculați: \(\displaystyle \frac{1}{3}\left(\log _{2} 16+\log _{2} 4\right)\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{-128 \cdot 0,125^{\frac{1}{3}}}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{9^{1,5} - 2}\)

Calculati: \(\displaystyle \left( \frac{14}{3} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \left( \frac{7}{6} \right)^{-1,5}\)

Calculați: \(\displaystyle \log_3 18 + \log_9 \frac{1}{4} \)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_3 27 + \log_8 2 + \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + \log_{\frac{1}{7}} \sqrt[3]{7} \)

Calculati: \( \sqrt[3]{81}^{\frac{3}{2}} + \sqrt[3]{4}^{\frac{9}{2}} \)

Calculati: \(\displaystyle (0,027)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{10} \right)^{-2}\)

Calculați: \(\displaystyle -\frac{3}{4}-32^{-\frac{2}{5}}\)

Să se afle valoarea expresiei: \( \log_3 27 - \sqrt{6 \frac{1}{4}} + 3^{\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Calculați: \(\displaystyle \log _{\sqrt{2}} 4+\log _{5} 1\)

Calculați: \(\displaystyle 2^{2+\log _{4} 25}-2^{\frac{3}{\log _{5} 2}}\)

Calculați valoarea expresiei: \( \frac{4}{5} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{1}{4} \right)^{-3} \right]^{\log_{65} 5} \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} - \left( \frac{1}{\log_3 27} \right)^{-3} \)

Calculati: \(\displaystyle 9 ^ {\log_3 6 - 1,5 }\)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_3 54 - \log_3 2 + \log_3 81 \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle -\frac{7}{8} - 16^{-\frac{3}{4}} \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle \sqrt{81^{\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} } \).

Calculati: \(\displaystyle \big(\log_7 \sqrt{7} + \log_3 48 - \log_3 16\big) \cdot 15^{2 \log_{15} 2}\)

Determinați valoarea expresiei \( \sqrt[3]{2^{(\sqrt{2}-1)^2} \cdot 4^{\sqrt{2}}} \).

Calculați valoarea expresiei: \( \sqrt{64^{\frac{1}{3}} + \log_3 \frac{1}{27} }\)

Calculati: \(\displaystyle \left(4^{\log_2 3}\right)^{\frac{3}{2}} - \log_4 64\)

Calculați valoarea expresiei: \( \left( \frac{8}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_3 36 - \log_3 4 \)

Să se afle media aritmetică a numerelor: \( a = \sqrt{81} + \sqrt[3]{-64} + 16^{\frac{3}{4}} \) si \( b = \log_3 27 - \sqrt{6 \frac{1}{4}} + 3^{\log_3 \frac{1}{2}} \)

Calculați: \(\displaystyle \log _{16} 8+2^{-2}\)

Calculați: \( 2^{\log_2 \sin 30^\circ} \).

Determinați valoarea expresiei \( 3^{\log_{\sqrt{3}} tg 60^\circ} \).

Calculati: \(\displaystyle \frac{2 \cdot 5^{10} - 9 \cdot 5^9}{5^8} + \left(1\frac{1}{2}\right)^{-2}\)

Calculați: \(\displaystyle 2^{-2}+\sqrt[3]{\frac{3}{64}-2}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{100^{1-\lg 2}}\).

Calculați: \(\displaystyle \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}+9^{\frac{3}{2}}\)

Calculați: \(\displaystyle \log _{12} 3+\log _{12} 4+12^{\log _{144} 4}+\log _{\frac{1}{2}} 8\).

Calculați: \(81^{\displaystyle \frac{1}{\log_5 9}}\).

Calculati: \(\displaystyle \log_{81} 27 + 4^{-1}\)

Calculati: \(\displaystyle 4^{3 - \log_2 \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{5^{\log _{25} 4}-5^{0}}\)

Calculati: \(\displaystyle 125^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} - \frac{1,8^3}{0,9^3}\)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 12^{\log_{144} 4} + \log_{\frac{1}{2}} 8 \)

Calculati: \(\displaystyle 3^{\log_{27} 8} - \sqrt[3]{0,027}\)

Calculati: \(\displaystyle (0,4)^{-2} \cdot \left( \frac{125}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}\)

Calculați: \(\displaystyle \left[\sqrt[3]{\frac{8}{27}}-3^{-1}\right]^{-1}\)

Calculati: \(\displaystyle \log_3 \frac{2}{3} + \log_3 18 - \log_{\sqrt{3}} 2 \)

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 4\). Observăm că \(\displaystyle 4 = 2^2\) și \(\displaystyle \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), deci:
\(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 4 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_5 1\). Știm că \(\displaystyle \log_a 1 = 0\) pentru orice \(\displaystyle a > 0\), \(\displaystyle a \neq 1\), deci:
\(\displaystyle \log_5 1 = 0\)
Pasul 3: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 4 + 0 = 4\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 2^{2+\log_4 25} = 2^2 \cdot 2^{\log_4 25} = 4 \cdot 2^{\log_{2^2} 5^2} = 4 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20\)
\(\displaystyle 2^{\frac{3}{\log_5 2}} = 2^{3\log_2 5} = (2^{\log_2 5})^3 = 5^3 = 125\)
Pasul 2: Calculăm diferența:
\(\displaystyle 20 - 125 = -105\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{16} 8\). Observăm că \(\displaystyle 16 = 2^4\) și \(\displaystyle 8 = 2^3\), deci:
\(\displaystyle \log_{16} 8 = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4} \log_2 2 = \frac{3}{4}\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle 2^{-2}\):
\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
Pasul 3: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Pasul 1: Simplificăm exponentul și radicalul:
\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \frac{3}{64} - 2 = \frac{3 - 128}{64} = -\frac{125}{64}\)
\(\displaystyle \sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = -\frac{5}{4}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle \sqrt{100^{1-\lg 2}} = \sqrt{100^1 \cdot 100^{-\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot (10^2)^{-\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot 10^{-2\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot 10^{\lg 2^{-2}}} = \sqrt{100 \cdot 2^{-2}} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5\)

Pasul 1: Simplificăm exponenții:
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = (-3)^2 = 9\)
\(\displaystyle 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle 9 + 27 = 36\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_{12} 3 + \log_{12} 4 = \log_{12} (3 \cdot 4) = \log_{12} 12 = 1\)
\(\displaystyle 12^{\log_{144} 4} = 12^{\log_{12^2} 2^2} = 12^{\log_{12} 2} = 2\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1} \log_2 2 = -3\)
Pasul 2: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 1 + 2 - 3 = 0\)

Pasul 1: Simplificăm exponentul \(\displaystyle \log_{25} 4\). Observăm că \(\displaystyle 25 = 5^2\) și \(\displaystyle 4 = 2^2\), deci putem scrie:
\(\displaystyle \log_{25} 4 = \log_{5^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_5 2 = \log_5 2\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \sqrt[3]{5^{\log_5 2} - 5^0}\)
Pasul 3: Folosim proprietatea \(\displaystyle a^{\log_a b} = b\):
\(\displaystyle \sqrt[3]{2 - 1}\)
Pasul 4: Simplificăm:
\(\displaystyle \sqrt[3]{1} = 1\)

Pasul 1: Simplificăm radicalul și exponentul:
\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle 3^{-1} = \frac{1}{3}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \left[\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right]^{-1} = \left[\frac{1}{3}\right]^{-1} = 3^1 = 3\)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări