Mărginirea Șirului

Definiție

Un șir \((x_n)_{n \geq 1}\) este mărginit dacă valorile termenilor săi sunt cuprinse între două constante finite, pentru orice \(n\).

Metodă de rezolvare a mărginirii unui șir

Calculăm termenul inițial \(x_1\).
Determinăm limita șirului, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n\).
Analizăm valorile lui \(x_n\) în raport cu aceste limite: dacă toate valorile sunt între limite, șirul este mărginit inferior și superior.

Exemplu Rezolvat

Se consideră șirul: \[ x_n = \frac{2n + 1}{2n + 6}. \] De analizat dacă acest șir este mărginit.

1. Calculul termenului inițial

Calculăm \(x_1\) substituind \(n = 1\):

\[ x_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1 + 6} = \frac{3}{8}. \]

2. Determinarea limitei

Determinăm \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n\):

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{2n + 6}. \]

Împărțim toți termenii din numărător și numitor la \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2n}{n} + \displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{2n}{n} + \displaystyle \frac{6}{n}} = \frac{2 + 0}{2 + 0} = 1. \]

3. Analiza valorilor șirului

Observăm că termenii șirului sunt pozitivi și se află între \(\frac{3}{8}\) (valoarea inițială) și 1 (limita când \(n \to \infty\)).

\[ \frac{3}{8} \leq x_n \leq 1, \, \forall n \geq 1. \]

Concluzie

Deoarece termenii șirului sunt cuprinși între \(\frac{3}{8}\) și 1, concluzionăm că șirul este mărginit inferior și superior.

Răspuns Final

\[ R/s: \text{Șirul este mărginit inferior și superior.} \]

Exerciții

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{3 - 2n}{n+5} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{n - 5}{6n + 7} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{6n + 10}{n + 1} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{4n - 1}{n + 2} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{5n^2 - 2n + 3}{3n^2 + n + 4} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{2n + 7}{n^2 + n + 1} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{n^2 + 5n + 2}{3n^2 - 2n + 4} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{4n^2 - n + 3}{n^2 + 2n + 1} \)

Studiati marginea șirului \( \displaystyle x_n = \frac{n^2 + 3}{2n^2 - n + 5} \)

Răspunsuri

Șirul este mărginit inferior și superior

Rezolvări

1. Calculăm primul termen pentru \( \displaystyle n = 1 \):
\[ \displaystyle x_1 = \frac{3 - 2 \cdot 1}{1 + 5} = \frac{1}{6} \]
2. Determinăm limita șirului când n tinde la infinit:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2n}{n + 5} = -2 \]
3. Deoarece șirul este descrescător, valorile sale se află între limită (exclusiv) și primul termen (inclusiv):
\[ \displaystyle -2 < x_n \leq \frac{1}{6}, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{1 - 5}{6 \cdot 1 + 7} = -\frac{4}{13} \]
2. Determinăm limita șirului:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 5}{6n + 7} = \frac{1}{6} \]
3. Șirul este crescător, deci termenii pornesc de la \( \displaystyle x_1 \) și tind spre limită fără a o atinge:
\[ \displaystyle -\frac{4}{13} \leq x_n < \frac{1}{6}, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{6 \cdot 1 + 10}{1 + 1} = \frac{16}{2} = 8 \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{6n + 10}{n + 1} = 6 \]
3. Analiza valorilor: termenii scad de la 8 către 6:
\[ \displaystyle 6 < x_n \leq 8, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{4 \cdot 1 - 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \]
2. Limita la infinit:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n - 1}{n + 2} = 4 \]
3. Analiza valorilor: termenii cresc de la 1 spre 4:
\[ \displaystyle 1 \leq x_n < 4, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit inferior și superior.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 3} = \frac{3}{4} \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3} = 1 \]
3. Analiza valorilor:
\[ \displaystyle \frac{3}{4} \leq x_n < 1, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{5 - 2 + 3}{3 + 1 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{5}{3} \approx 1.66 \]
3. Deoarece \( \displaystyle 0.75 < 1.66 \), termenii cresc spre limită:
\[ \displaystyle \frac{3}{4} \leq x_n < \frac{5}{3}, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{2 + 7}{1 + 1 + 1} = \frac{9}{3} = 3 \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = 0 \] (deoarece gradul numitorului este mai mare).
3. Șirul scade de la 3 spre zero:
\[ \displaystyle 0 < x_n \leq 3, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{1 + 5 + 2}{3 - 2 + 4} = \frac{8}{5} = 1.6 \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{3} \approx 0.33 \]
3. Termenii descresc de la 1.6 spre 0.33:
\[ \displaystyle \frac{1}{3} < x_n \leq \frac{8}{5}, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{4 - 1 + 3}{1 + 2 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = 4 \]
3. Termenii cresc de la 1.5 spre 4:
\[ \displaystyle \frac{3}{2} \leq x_n < 4, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

1. Calculăm primul termen:
\[ \displaystyle x_1 = \frac{1 + 3}{2 - 1 + 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.66 \]
2. Determinăm limita:
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{2} = 0.5 \]
3. Deoarece \( \displaystyle 0.5 < 0.66 \), șirul descrescător are limitele:
\[ \displaystyle \frac{1}{2} < x_n \leq \frac{2}{3}, \, \forall n \geq 1 \]
Răspuns: Șirul este mărginit.

Cuprins

Explicație
Exerciții