Polinom: Restul Împărțirii
1. Teorema lui Bézout
Restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X - a \) este dat de valoarea \( P(a) \).
- Dacă împărțim la \( X + 1 \), atunci \( R(X) = P(-1) \).
- Dacă împărțim la \( X - 5 \), atunci \( R(X) = P(5) \).
2. Diviziunea
Daca un polinom se divide (sau este divizibil) prin alt binom, atunci restul impartirii \( R(X) = 0 \)
3. Exemplu Rezolvat
Fie polinomul \( P(X) = m X^3 + 11 X^2 + 7X + m \). Determinați \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât \( P(X) \) se divide prin \( Q(X) = X - 1 \).
Rezolvare:
- \( P(X) \) se divide prin \( Q(X) \Rightarrow R(X) = 0 \)
\( \Rightarrow P(1) = 0 \)
\( \Rightarrow m \cdot 1^3 + 11 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + m = 0 \)
\( \Rightarrow m + 11 + 7 + m = 0 \)
\( \Rightarrow 2m + 18 = 0 \)
\( \Rightarrow 2m = -18 \)
\( \Rightarrow m = \frac{-18}{2} \)
\( \Rightarrow m = -9 \).
Răspuns: \( m = -9 \).
4. Limitări ale Teoremei lui Bézout
Dacă binomul la care se împarte polinomul este de gradul 2 sau mai mare, atunci teorema lui Bézout nu se poate folosi.
Deci, daca se imparte un polinom la \(X^2 - 1\), atunci nu se poate folosi metoda de mai sus pentru a calcula restul.
Pentru a calcula restul in asa caz, trebuie de impartit in colonita polinoamele
Exerciții
1
Aflăți restul împărțirii \(P(X) = X^4 + 2X^3 + 2X + 2\) la \(Q(X) = X+2\)
2
Aflăți restul împărțirii \(P(X)\) la \(Q(X)\): \(P(X) = 2X^4 - 3X^3 - X^2 + 9X + 5\), \(Q(X) = X-\sqrt{3}\)
3
Aflăți restul împărțirii \(P(X)\) la \(Q(X)\): \(P(X) = X^4 - 8X^3 + 15X^2 + 4X - 20\), \(Q(X) = X-2\)
4
Determinați restul împărțirii polinomului: \( P(X) = -4X^3 + 18X^2 - 8X + 2 \) la binomul \( X + 1 \).
5
Calculati restul impartirii lui \(3X^4-5X^3+3X^2-6X+5 \) la \( X-2 \)
6
Fie polinomul \( P(X) = X^3 + mX^2 + mX - 1 \). Determinați: \( m \in \mathbb{R} \), știind că restul împărțirii polinomului la \( X - 1 \) este \(-6\)
7
Fie polinomul: \( P(X) = X^3 + (2m - 1) X^2 - (m + 1)X + 3m - 15 \). Determinați \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât \( P(X) \) să se dividă prin \( X - 1 \)
8
Determinați valorile parametrului real \( a \), astfel încât restul împărțirii polinomului: \( P(X) = X^3 + a^2 X^2 + 3a X + 1 \) la \( X - 1 \) este \( 12 \)