Determinant

1. Determinant de ordinul 2

Formula pentru un determinant de ordinul 2 este:

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - (-5) \cdot 7 = -6 + 35 = 29 \]

2. Determinant de ordinul 3

Formula pentru un determinant de ordinul 3 este:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + a_2 \cdot b_3 \cdot c_1 + a_3 \cdot b_1 \cdot c_2 - (a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 + a_2 \cdot b_1 \cdot c_3 + a_1 \cdot b_3 \cdot c_2) \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 4 & 1 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 \cdot 6 - \big(5 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 \cdot 6\big) \] \[ = 1 + 75 - 48 - (25 + 3 - 48) = -6 - 17 = -23 \]

Rezolvarea inecuației:

Se cere să rezolvăm inecuația:

\[ \frac{x+1}{x+d} \leq 0 \]

Substituim \(d = -3\):

\[ \frac{x+1}{x-3} \leq 0 \]

Pasul 1: Determinarea rădăcinilor numărătorului și numitorului

  • Numărătorul: \(x+1 = 0 \implies x = -1\)
  • Numitorul: \(x-3 = 0 \implies x = 3\)

Observație: Numitorul nu poate fi egal cu zero, deci \(x \neq 3\).

Pasul 2: Analiza semnelor pe intervale

Împărțim axa reală în intervale, folosind punctele critice \(-1\) și \(3\):

\[ (-\infty, -1), \quad (-1, 3), \quad (3, \infty) \]

Testăm un punct din fiecare interval în expresia \(\frac{x+1}{x-3}\):

  • \(x = -2 \implies \frac{-2+1}{-2-3} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0\)
  • \(x = 0 \implies \frac{0+1}{0-3} = \frac{1}{-3} < 0\)
  • \(x = 4 \implies \frac{4+1}{4-3} = \frac{5}{1} > 0\)

Pasul 3: Intervalul soluțiilor

Din analiza semnelor, observăm că inecuația este satisfăcută pe intervalul în care fracția este \(\leq 0\), adică \([-1, 3)\).

Concluzie:

\[ S = [-1, 3) \]

Exerciții

1
Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ x & -2 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix}\). Scrieți în casetă unul dintre semnele „>”, „<” sau „=”, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată. \(\displaystyle D(\pi) \boxed{\phantom{a}} D(3) \)
2
Fie \(d = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 2 & -4 & 5 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{N}\) ecuația \(\sqrt[3]{x^2 - d} = -2\).
3
Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \log_2 x & 1 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(D(x) \geq 0\).
4
Determinați suma soluțiilor reale ale ecuației: \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2 & 2x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 0. \)
5
\( D(x) = \begin{vmatrix} \sqrt{5x^2 - x} & x \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(D(x) = 1\).
6
\( \displaystyle \text{Calculați determinantul matricei } A = \begin{pmatrix} 1 + 3i & -6 \\ i^3 & 1 + 3i \end{pmatrix}, \; \text{unde } i^2 = -1. \)
7
Se consideră matricea \(A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ x+1 & 3 \end{pmatrix}\). Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\det A = \sqrt{4 + x}\), unde \(\det A\) reprezintă determinantul matricei \(A\).
Înapoi Următor