Determinant

1. Determinant de ordinul 2

Formula pentru un determinant de ordinul 2 este:

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - 7 \cdot (-5) = -6 + 35 = 29 \]

2. Determinant de ordinul 3

Formula pentru un determinant de ordinul 3 este:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - (a_3 b_2 c_1 + a_2 b_1 c_3 + a_1 b_3 c_2) \]

Regula lui Sarrus (metodă practică)

Pentru a calcula un determinant de ordinul 3 mai ușor, rescriem primele două rânduri sub matrice și înmulțim pe diagonale:

Diagonalele principale (de sus-stânga spre jos-dreapta) se adună.
Diagonalele secundare (de sus-dreapta spre jos-stânga) se scad.

Schema vizuală (săgețile \(\searrow\) dau termeni pozitivi, săgețile \(\swarrow\) dau termeni negativi):

\[ \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \hline a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array} \]

\[ + \; a_1 b_2 c_3 \;+\; a_2 b_3 c_1 \;+\; a_3 b_1 c_2 \;-\; a_3 b_2 c_1 \;-\; a_2 b_1 c_3 \;-\; a_1 b_3 c_2 \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ d = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

Rescriem primele două rânduri sub matrice:

\[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ \hline 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{array} \]

Diagonalele principale (termeni pozitivi):

\(1 \cdot 4 \cdot 3 = 12\)
\(2 \cdot 1 \cdot 2 = 4\)
\(0 \cdot 3 \cdot 1 = 0\)

Diagonalele secundare (termeni negativi):

\(0 \cdot 4 \cdot 2 = 0\)
\(2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\)
\(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

\[ d = (12 + 4 + 0) - (0 + 18 + 1) = 16 - 19 = -3 \]

Rezolvarea inecuației:

Se cere să rezolvăm inecuația:

\[ \frac{x+1}{x+d} \leq 0 \]

Substituim \(d = -3\):

\[ \frac{x+1}{x+(-3)} = \frac{x+1}{x-3} \leq 0 \]

Pasul 1: Determinarea rădăcinilor numărătorului și numitorului

Numărătorul: \(x+1 = 0 \implies x = -1\)
Numitorul: \(x-3 = 0 \implies x = 3\)

Observație: Numitorul nu poate fi egal cu zero, deci \(x \neq 3\).

Pasul 2: Analiza semnelor pe intervale

Împărțim axa reală în intervale, folosind punctele critice \(-1\) și \(3\):

\[ (-\infty, -1), \quad (-1, 3), \quad (3, \infty) \]

Testăm un punct din fiecare interval în expresia \(\dfrac{x+1}{x-3}\):

\(x = -2 \implies \dfrac{-2+1}{-2-3} = \dfrac{-1}{-5} = \dfrac{1}{5} > 0\)
\(x = 0 \implies \dfrac{0+1}{0-3} = \dfrac{1}{-3} < 0\)
\(x = 4 \implies \dfrac{4+1}{4-3} = \dfrac{5}{1} > 0\)

Pasul 3: Intervalul soluțiilor

Din analiza semnelor, observăm că inecuația este satisfăcută pe intervalul în care fracția este \(\leq 0\), adică \([-1, 3)\).

Concluzie:

\[ S = [-1, 3) \]

Exerciții

Fie \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ x & -2 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} \). Scrieți în casetă unul dintre semnele „>”, „<” sau „=”, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată. \( \displaystyle D(\pi) \boxed{\phantom{a}} D(3) \)

Fie \( \displaystyle d = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{N} \) ecuația \( \displaystyle \sqrt[3]{x^2 - d} = -2 \).

Fie \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \log_2 x & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle D(x) \geq 0 \).

Determinați suma soluțiilor reale ale ecuației: \( \displaystyle \begin{vmatrix} x^2 & 2x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 0 \).

\( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \sqrt{5x^2 - x} & x \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle D(x) = 1 \).

\( \displaystyle \text{Calculați determinantul matricei } A = \begin{pmatrix} 1 + 3i & -6 \\ i^3 & 1 + 3i \end{pmatrix}, \text{ unde } i^2 = -1. \)

Se consideră matricea \( \displaystyle A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ x+1 & 3 \end{pmatrix} \). Să se rezolve în \( \displaystyle \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \det A = \sqrt{4 + x} \).