Determinant

1. Determinant de ordinul 2

Formula pentru un determinant de ordinul 2 este:

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - (-5) \cdot 7 = -6 + 35 = 29 \]

2. Determinant de ordinul 3

Formula pentru un determinant de ordinul 3 este:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + a_2 \cdot b_3 \cdot c_1 + a_3 \cdot b_1 \cdot c_2 - (a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 + a_2 \cdot b_1 \cdot c_3 + a_1 \cdot b_3 \cdot c_2) \]

Exemplu:

Calculați determinantul:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 4 & 1 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 \cdot 6 - \big(5 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 \cdot 6\big) \] \[ = 1 + 75 - 48 - (25 + 3 - 48) = -6 - 17 = -23 \]

Rezolvarea inecuației:

Se cere să rezolvăm inecuația:

\[ \frac{x+1}{x+d} \leq 0 \]

Substituim \(d = -3\):

\[ \frac{x+1}{x-3} \leq 0 \]

Pasul 1: Determinarea rădăcinilor numărătorului și numitorului

Numărătorul: \(x+1 = 0 \implies x = -1\)
Numitorul: \(x-3 = 0 \implies x = 3\)

Observație: Numitorul nu poate fi egal cu zero, deci \(x \neq 3\).

Pasul 2: Analiza semnelor pe intervale

Împărțim axa reală în intervale, folosind punctele critice \(-1\) și \(3\):

\[ (-\infty, -1), \quad (-1, 3), \quad (3, \infty) \]

Testăm un punct din fiecare interval în expresia \(\frac{x+1}{x-3}\):

\(x = -2 \implies \frac{-2+1}{-2-3} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0\)
\(x = 0 \implies \frac{0+1}{0-3} = \frac{1}{-3} < 0\)
\(x = 4 \implies \frac{4+1}{4-3} = \frac{5}{1} > 0\)

Pasul 3: Intervalul soluțiilor

Din analiza semnelor, observăm că inecuația este satisfăcută pe intervalul în care fracția este \(\leq 0\), adică \([-1, 3)\).

Concluzie:

\[ S = [-1, 3) \]

Exerciții

Fie \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ x & -2 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} \). Scrieți în casetă unul dintre semnele „>”, „<” sau „=”, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată. \( \displaystyle D(\pi) \boxed{\phantom{a}} D(3) \)

Fie \( \displaystyle d = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{N} \) ecuația \( \displaystyle \sqrt[3]{x^2 - d} = -2 \).

Fie \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \log_2 x & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle D(x) \geq 0 \).

Determinați suma soluțiilor reale ale ecuației: \( \displaystyle \begin{vmatrix} x^2 & 2x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 0 \).

\( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \sqrt{5x^2 - x} & x \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle D(x) = 1 \).

\( \displaystyle \text{Calculați determinantul matricei } A = \begin{pmatrix} 1 + 3i & -6 \\ i^3 & 1 + 3i \end{pmatrix}, \text{ unde } i^2 = -1. \)

Se consideră matricea \( \displaystyle A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ x+1 & 3 \end{pmatrix} \). Să se rezolve în \( \displaystyle \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \det A = \sqrt{4 + x} \).

Răspunsuri

\( \displaystyle < \)

\( \displaystyle x = 2 \)

\( \displaystyle x \in (0, 2] \)

\( \displaystyle 0 \)

\( \displaystyle x = \frac{1}{4} \)

\( \displaystyle -8 \)

\( \displaystyle x = 5 \)

Rezolvări

Calculăm determinantul dezvoltând după prima linie (unde primul element este 0):
\[ \displaystyle D(x) = 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} x & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \displaystyle D(x) = -(4x - (-3)) + (x - (-6)) = -(4x + 3) + x + 6 \]
\[ \displaystyle D(x) = -4x - 3 + x + 6 = -3x + 3 \]
Funcția \( \displaystyle D(x) = -3x + 3 \) este o funcție liniară cu panta \( \displaystyle a = -3 \). Deoarece panta este negativă, funcția este strict descrescătoare.
Într-o funcție descrescătoare, dacă \( \displaystyle x_1 < x_2 \), atunci \( \displaystyle f(x_1) > f(x_2) \).
Știm că \( \displaystyle 3 < \pi \) (deoarece \( \displaystyle \pi \approx 3.14 \)), deci:
\[ \displaystyle D(3) > D(\pi) \quad \text{sau} \quad D(\pi) < D(3) \]
Răspuns: \( \displaystyle \boxed{<} \)

Calculăm determinantul dezvoltând după prima linie, profitând de zerouri:
\[ \displaystyle d = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 5 - (-2) \cdot (-4)) = 20 - 8 = 12 \]
Ecuația devine:
\[ \displaystyle \sqrt[3]{x^2 - 12} = -2 \]
Ridicăm întreaga ecuație la puterea a treia pentru a scăpa de radical:
\[ \displaystyle (\sqrt[3]{x^2 - 12})^3 = (-2)^3 \]
\[ \displaystyle x^2 - 12 = -8 \]
\[ \displaystyle x^2 = 12 - 8 \implies x^2 = 4 \]
Soluțiile reale sunt \( \displaystyle x = 2 \) și \( \displaystyle x = -2 \).
Deoarece problema cere soluții în mulțimea numerelor naturale \( \displaystyle \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} \), singura soluție validă este:
\[ \displaystyle x = 2 \]
Răspuns: \( \displaystyle x = 2 \)

Calculăm determinantul de ordin 2 (produsul diagonalelor):
\[ \displaystyle D(x) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot \log_2 x = 1 - \log_2 x \]
Inecuația devine:
\[ \displaystyle 1 - \log_2 x \geq 0 \implies \log_2 x \leq 1 \]
Înainte de a rezolva, punem condiția de existență pentru logaritm: \( \displaystyle x > 0 \).
Rezolvăm inecuația logaritmică:
\[ \displaystyle \log_2 x \leq \log_2 2 \]
Deoarece baza logaritmului (2) este mai mare decât 1, funcția este crescătoare, deci păstrăm sensul inegalității:
\[ \displaystyle x \leq 2 \]
Combinând cu condiția \( \displaystyle x > 0 \), obținem:
\[ \displaystyle x \in (0, 2] \]
Răspuns: \( \displaystyle x \in (0, 2] \)

Calculăm determinantul:
\[ \displaystyle x^2 \cdot x - 2 \cdot 2x = 0 \]
\[ \displaystyle x^3 - 4x = 0 \]
Factorizăm expresia pentru a găsi rădăcinile:
\[ \displaystyle x(x^2 - 4) = 0 \]
\[ \displaystyle x(x - 2)(x + 2) = 0 \]
Soluțiile sunt:
\[ \displaystyle x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -2 \]
Suma soluțiilor este:
\[ \displaystyle S = 0 + 2 + (-2) = 0 \]
Răspuns: \( \displaystyle 0 \)

Calculăm determinantul:
\[ \displaystyle D(x) = \sqrt{5x^2 - x} \cdot 1 - (-3) \cdot x = \sqrt{5x^2 - x} + 3x \]
Ecuația este:
\[ \displaystyle \sqrt{5x^2 - x} + 3x = 1 \implies \sqrt{5x^2 - x} = 1 - 3x \]
Stabilim condițiile:
1. Cantitatea de sub radical: \( \displaystyle 5x^2 - x \geq 0 \implies x(5x - 1) \geq 0 \implies x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{1}{5}, \infty) \).
2. Rezultatul radicalului trebuie să fie pozitiv: \( \displaystyle 1 - 3x \geq 0 \implies x \leq \frac{1}{3} \).
Intersecția condițiilor ne dă domeniul admisibil: \( \displaystyle x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{1}{5}, \frac{1}{3}] \).
Ridicăm la pătrat:
\[ \displaystyle 5x^2 - x = (1 - 3x)^2 \]
\[ \displaystyle 5x^2 - x = 1 - 6x + 9x^2 \]
\[ \displaystyle 4x^2 - 5x + 1 = 0 \]
Rezolvăm ecuația de gradul II: \( \displaystyle \Delta = 25 - 16 = 9 \).
\[ \displaystyle x_1 = \frac{5+3}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Verificăm soluțiile în condițiile stabilite:
- \( \displaystyle x = 1 \) nu este \( \displaystyle \leq \frac{1}{3} \) (fals).
- \( \displaystyle x = \frac{1}{4} \) este în intervalul \( \displaystyle [\frac{1}{5}, \frac{1}{3}] \) deoarece \( \displaystyle 0.2 \leq 0.25 \leq 0.33 \) (adevărat).
Răspuns: \( \displaystyle x = \frac{1}{4} \)

Calculăm determinantul folosind formula \( \displaystyle ad - bc \):
\[ \displaystyle \det(A) = (1 + 3i)(1 + 3i) - (-6)(i^3) \]
Știm că \( \displaystyle i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \).
\[ \displaystyle \det(A) = (1 + 3i)^2 - (-6)(-i) = (1 + 3i)^2 - 6i \]
Calculăm binomul la pătrat:
\[ \displaystyle (1 + 3i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i \]
Revenim la determinant:
\[ \displaystyle \det(A) = (-8 + 6i) - 6i = -8 \]
Răspuns: \( \displaystyle -8 \)

Mai întâi calculăm determinantul matricei A:
\[ \displaystyle \det A = x \cdot 3 - 2(x + 1) = 3x - 2x - 2 = x - 2 \]
Ecuația devine:
\[ \displaystyle x - 2 = \sqrt{4 + x} \]
Punem condițiile de existență:
1. Sub radical: \( \displaystyle 4 + x \geq 0 \implies x \geq -4 \).
2. Rezultatul radicalului: \( \displaystyle x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2 \).
Ridicăm la pătrat:
\[ \displaystyle (x - 2)^2 = 4 + x \]
\[ \displaystyle x^2 - 4x + 4 = 4 + x \]
\[ \displaystyle x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0 \]
Avem două soluții posibile: \( \displaystyle x = 0 \) și \( \displaystyle x = 5 \).
Verificăm condiția \( \displaystyle x \geq 2 \):
- Pentru \( \displaystyle x = 0 \), \( \displaystyle 0 < 2 \), deci nu e bună.
- Pentru \( \displaystyle x = 5 \), \( \displaystyle 5 \geq 2 \), deci este soluția corectă.
Răspuns: \( \displaystyle x = 5 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții