Progresie Aritmetică
Definiție: O progresie aritmetică este un șir de numere în care diferența dintre termenele consecutive este constantă. Această diferență constantă se numește rație, notată cu \( r \).
Formule Esențiale
- Fie \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) termenii progresiei aritmetice, atunci:
- \( a_2 = a_1 + r \)
- \( a_3 = a_2 + r \)
- \( a_n = a_1 + r(n-1) \)
Exemplu 1: Identificarea Rației
Considerăm progresia: \( 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, \ldots \). Se cere de aflat rația progresiei.
Diferența dintre termene consecutive este: \[ r = 10 - 7 = 3 \quad \text{sau} \quad r = 13 - 10 = 3. \] Deci, rația este \( r = 3 \).
Exemplu 2: Calcularea unui Termen
Se dă progresia aritmetică \((a_n)_n\), unde \( a_1 = 5 \) și relația de recurență este: \[ a_{n+1} = a_n - 4. \] Determinați al cincilea termen al progresiei.
Soluție:
Calculăm primii termeni ai progresiei:
- \( a_1 = 5 \)
- \( a_2 = a_1 - 4 = 5 - 4 = 1 \)
- \( a_3 = a_2 - 4 = 1 - 4 = -3 \)
- \( a_4 = a_3 - 4 = -3 - 4 = -7 \)
- \( a_5 = a_4 - 4 = -7 - 4 = -11 \)
Astfel, al cincilea termen este \( a_5 = -11 \).
Soluție alternativă folosind formula generală:
Formula termenului general al progresiei este: \[ a_n = a_1 + r(n-1). \] În cazul nostru, \( r = -4 \), deci: \[ a_5 = a_1 + 4 \cdot r = 5 + 4 \cdot (-4) = 5 - 16 = -11. \]
Răspuns final: \( a_5 = -11 \).
Exerciții
1
Determinați termenul \(a_4\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), dacă \(a_1 = -2\) și \(r = 5\).
2
Determinați \(a_4\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), dacă \(a_1 = 4; a_2 = 7\).
3
Se consideră o progresie aritmetică cu \(a_2 = 7\) și \(a_3 = 1\). Determinați rația acestei progresii.
4
Aflați termenul \(a_{10}\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), dacă \(a_{n+1} = a_n - 3\) și \(a_1 = 5\).
5
Aflați al zecelea termen al șirului \(1, 7, 13, 19, \dots\).
6
Fie progresia aritmetică \((a_n)_{n \geq 1}\), în care \(a_1 = 1\), \(a_5 = 13\). Calculați \(a_{200}\).
7
Determinați rația progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), dacă \(a_2 = 2\) și \(a_5 = 17\).