Numere complexe: Definitii
Numarul complex este de forma: \(\displaystyle z = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R}, \quad i^2 = -1 \)
Numerele "a" si "b" din numarul complex sunt oricare numere reale, iar "\( i \)" reprezinta un numar imaginar care are proprietatea ca atunci cand este ridicat la puterea a doua, rezulta in \(-1\)
Multimea numerelor complexe este \( \mathbb{C} \), care include toate celelalte multimi invatate pana acum.
1. Partea reală și partea imaginară
- \(\operatorname{Re}(z) = a\) – partea reală
- \(\operatorname{Im}(z) = b\) – partea imaginară
Exemple:
- \(z = 2 - i \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re}(z) = 2, \operatorname{Im}(z) = -1\)
- \(z = 4i \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re}(z) = 0, \operatorname{Im}(z) = 4\)
- \(z = -5 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re}(z) = -5, \operatorname{Im}(z) = 0\)
2. Modulul unui număr complex
- Formula: \(\displaystyle |z| = \sqrt{\operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2} \)
Exemple:
- \(z = -12 + 5i \quad \Rightarrow \quad |z| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\)
- \(z = 8 - 6i \quad \Rightarrow \quad |z| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)
3. Conjugatul unui număr complex
- Formula: \(\displaystyle \overline{z} = a - bi \)
Exemple:
- \(z = -10 + i \quad \Rightarrow \quad \overline{z} = -10 - i\)
- \(z = 4i - 1 \quad \Rightarrow \quad \overline{z} = - 4i - 1\)
- \(z = 1 - i \quad \Rightarrow \quad \overline{z} = 1 + i\)
4. Egalitatea a două numere complexe
- \(z_1 = z_2 \iff \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2) \quad \text{și} \quad \operatorname{Im}(z_1) = \operatorname{Im}(z_2)\)
5. Proprietati
- \(b = 0 \quad \Rightarrow \quad z\) este un număr real.
- \(a = 0 \quad \Rightarrow \quad z\) este pur imaginar.
Exerciții
1
Calculați conjugatul și modulul numărului complex
\( z = 3 + 4i \).
\( z = 3 + 4i \).
2
Calculați dublul părții reale și modulul numărului complex
\( z = -2 + 5i \).
\( z = -2 + 5i \).
3
Calculați conjugatul și dublul părții imaginare a numărului complex
\( z = 7 - 3i \).
\( z = 7 - 3i \).
4
Determinați modulul și părțile reală și imaginară ale numărului complex
\( z = -4i \).
\( z = -4i \).
5
Calculați modulul, conjugatul și suma părților reale și imaginare ale numărului complex
\( z = 1 + 2i \).
\( z = 1 + 2i \).
6
Determinați dublul părții reale și modulul numărului complex
\( z = -6 + 8i \).
\( z = -6 + 8i \).
7
Calculați modulul și conjugatul numărului complex
\(\displaystyle z = \frac{5}{2} + \frac{3}{2}i \).
\(\displaystyle z = \frac{5}{2} + \frac{3}{2}i \).
8
Calculați părțile reale și imaginare ale numărului complex după ce determinați conjugatul
\( z = -10 - 4i \).
\( z = -10 - 4i \).
9
Calculați modulul și dublul părții imaginare a numărului complex
\( z = \sqrt{3} + \sqrt{2}i \).
\( z = \sqrt{3} + \sqrt{2}i \).
10
Determinați părțile reale, imaginare, modulul și conjugatul numărului complex
\(\displaystyle z = -\frac{12}{7} - \frac{5}{7}i \).
\(\displaystyle z = -\frac{12}{7} - \frac{5}{7}i \).