Inecuatii exponentiale (puteri)
Inecuația exponențială este de forma:
\[ a^{f(x)} > a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} \geq a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} < a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} \leq a^{g(x)}. \]
Metoda de Rezolvare
\[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \]
- Dacă \( a > 1 \): păstrăm semnul inegalității: \[ f(x) > g(x) \]
- Dacă \( 0 < a \leq 1 \): schimbăm semnul inegalității: \[ f(x) < g(x) \]
Exemple Rezolvate
Exemplu 1
Rezolvați în \(\mathbb{R}\):
\[ 3^x \geq 3^{20} \]
Baza este \( a > 1 \), deci păstrăm semnul inegalității:
\[ x \geq 20 \]
Soluția este:
\[ S = [20; +\infty) \]
Exemplu 2
Rezolvați în \(\mathbb{R}\):
\[ \left(\frac{\sqrt{7}}{12}\right)^x > \left(\frac{\sqrt{7}}{12}\right)^{-3} \]
Baza este \( 0 < a < 1 \), deci schimbăm semnul inegalității:
\[ x < -3 \]
Soluția este:
\[ S = (-\infty; -3) \]
Exemplu 3
Rezolvați în \(\mathbb{R}\):
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \frac{25}{4} \]
Pasul 1: Transformăm bazele
Scriem termenii din dreapta și stânga cu aceeași bază:
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \frac{5^2}{2^2} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]
Observăm că \( \frac{5}{2} \) este inversul lui \( \frac{2}{5} \), astfel că scriem:
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{2} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \]
Pasul 2: Aplicăm regula exponentului
Dacă baza este \( 0 < a < 1 \), semnul inegalității se schimbă:
\[ -3x^2 + 10 \geq -2 \]
Pasul 3: Rezolvăm inecuația
Mutăm termenii și obținem o inecuație de gradul 2:
\[ -3x^2 \geq -2 -10 \] \[ -3x^2 \geq -12 \]
Împărțim la \(-3\) și schimbăm semnul inegalității:
\[ x^2 \leq 4 \]
Avem o inecuatie de gradul 2, care se rezolva prin calcularea zerourilor: \[ x^2 = 4 \]
Extragem radical: \[x=\pm \sqrt{4} = \pm 2\]
Construim axa, punem cerculetele colorate (deoarece semnul inecuatiei este "\(\leq\)") cu zerourile aflate, si construim o parabola cu ramurile in sus, deoarece numarul din fata lui \(x^2\) este pozitiv \((a=1)\)
Alegem intervalele cu "\(-\)", deoarece semnul inecuatiei este "\(\leq\)"
\[ S = [-2; 2] \]