Inecuatii exponentiale (puteri)

Inecuația exponențială este de forma:

\[ a^{f(x)} > a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} \geq a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} < a^{g(x)}, \quad a^{f(x)} \leq a^{g(x)}. \]

Metoda de Rezolvare

Transformam inecuatia sa aiba aceeasi baza in fiecare parte a inecuatiei, apoi cu ajutrul unei conditii scapam de baza si lasam doar puterile. Fie aceasta inecuatie ca exemplu:
\[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \]

Dacă \( a > 1 \): păstrăm semnul inegalității: \[ f(x) > g(x) \]
Dacă \( 0 < a \leq 1 \): schimbăm semnul inegalității: \[ f(x) < g(x) \]

Exemple Rezolvate

Exemplu 1

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ 3^x \geq 3^{20} \]

Baza este \( a > 1 \), deci păstrăm semnul inegalității:

\[ x \geq 20 \]

Soluția este:

\[ S = [20; +\infty) \]

Exemplu 2

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \left(\frac{\sqrt{7}}{12}\right)^x > \left(\frac{\sqrt{7}}{12}\right)^{-3} \]

Baza este \( 0 < a < 1 \), deci schimbăm semnul inegalității:

\[ x < -3 \]

Soluția este:

\[ S = (-\infty; -3) \]

Exemplu 3

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \frac{25}{4} \]

Pasul 1: Transformăm bazele

Scriem termenii din dreapta și stânga cu aceeași bază:

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \frac{5^2}{2^2} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]

Observăm că \( \frac{5}{2} \) este inversul lui \( \frac{2}{5} \), astfel că scriem:

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{2} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \]

Pasul 2: Aplicăm regula exponentului

Dacă baza este \( 0 < a < 1 \), semnul inegalității se schimbă:

\[ -3x^2 + 10 \geq -2 \]

Pasul 3: Rezolvăm inecuația

Mutăm termenii și obținem o inecuație de gradul 2:

\[ -3x^2 \geq -2 -10 \] \[ -3x^2 \geq -12 \]

Împărțim la \(-3\) și schimbăm semnul inegalității:

\[ x^2 \leq 4 \]

Avem o inecuatie de gradul 2, care se rezolva prin calcularea zerourilor: \[ x^2 = 4 \]

Extragem radical: \[x=\pm \sqrt{4} = \pm 2\]

Construim axa, punem cerculetele colorate (deoarece semnul inecuatiei este "\(\leq\)") cu zerourile aflate, si construim o parabola cu ramurile in sus, deoarece numarul din fata lui \(x^2\) este pozitiv \((a=1)\)

Alegem intervalele cu "\(-\)", deoarece semnul inecuatiei este "\(\leq\)"

\[ S = [-2; 2] \]

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{-2x} < 64 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 36^{-2x+3} \geq \frac{1}{6} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{2-x} < \left( \frac{5}{3} \right)^{2x+4} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{1}{27} \right)^{-2x} > 9 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{25}{4} \right)^{-3x+2} \leq \frac{2}{5} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle (0.5)^x \leq (0.25)^{2x - 1} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle (0.5)^{x^2-12} \geq 8 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{2}{9} \right)^{x^2+x} \geq (20.25)^{2x-7} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} < \left(\frac{64}{27}\right)^{-1} \)

Răspunsuri

\( x \in (-\infty, 1) \)

\( x \in (-\infty, \dfrac{7}{4}] \)

\( x \in (-6, +\infty) \)

\( x \in \left( -\infty, \dfrac{1}{3} \right) \)

\( x \in \left[ \dfrac{5}{6}, +\infty \right) \)

\( x \in \left( -\infty, \dfrac{2}{3} \right] \)

\( x \in [-\sqrt{15}, \sqrt{15}] \)

\( x \in [-7, 2] \)

\( x \in (1, 5) \)

Rezolvări

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( \dfrac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2x} = 2^{6x} \)
\( 64 = 2^6 \)
Inecuția devine:
\( 2^{6x} < 2^6 \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul inegalității rămâne:
\( 6x < 6 \)
\( x < 1 \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, 1) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 6:
\( 36 = 6^2 \Rightarrow 36^{-2x+3} = 6^{-4x+6} \)
\( \dfrac{1}{6} = 6^{-1} \)
Inecuția devine:
\( 6^{-4x+6} \geq 6^{-1} \)
Deoarece baza 6 > 1, sensul rămâne:
\( -4x + 6 \geq -1 \)
\( -4x \geq -7 \)
Împărțim la -4 (schimbăm sensul):
\( x \leq \dfrac{7}{4} \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, \dfrac{7}{4}] \).

Observăm că \( \dfrac{5}{3} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-1} \), deci:
\( \left( \dfrac{5}{3} \right)^{2x+4} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-(2x+4)} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2-x} < \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2x-4} \)
Deoarece baza \( 0 < \dfrac{3}{5} < 1 \), schimbăm sensul inegalității:
\( 2 - x > -2x - 4 \)
\( 2 + 4 > -2x + x \)
\( 6 > -x \)
\( x > -6 \)
Răspuns: \( x \in (-6, +\infty) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 3:
\( \dfrac{1}{27} = 3^{-3} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{27} \right)^{-2x} = 3^{6x} \)
\( 9 = 3^2 \)
Inecuția devine:
\( 3^{6x} > 3^2 \)
Deoarece baza 3 > 1, sensul rămâne:
\( 6x > 2 \)
\( x > \dfrac{1}{3} \)
Răspuns: \( x \in \left( \dfrac{1}{3}, +\infty \right) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 5 și 2:
\( \dfrac{25}{4} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^2 \Rightarrow \left( \dfrac{25}{4} \right)^{-3x+2} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-6x+4} \)
\( \dfrac{2}{5} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-1} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-6x+4} \leq \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-1} \)
Deoarece baza \( \dfrac{5}{2} > 1 \), sensul rămâne:
\( -6x + 4 \leq -1 \)
\( -6x \leq -5 \)
Împărțim la -6 (schimbăm sensul):
\( x \geq \dfrac{5}{6} \)
Răspuns: \( x \in \left[ \dfrac{5}{6}, +\infty \right) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( 0.5 = 2^{-1} \Rightarrow (0.5)^x = 2^{-x} \)
\( 0.25 = 2^{-2} \Rightarrow (0.25)^{2x-1} = 2^{-2(2x-1)} = 2^{-4x+2} \)
Inecuția devine:
\( 2^{-x} \leq 2^{-4x+2} \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul rămâne:
\( -x \leq -4x + 2 \)
\( 3x \leq 2 \)
\( x \leq \dfrac{2}{3} \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, \dfrac{2}{3}] \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( 0.5 = 2^{-1} \Rightarrow (0.5)^{x^2-12} = 2^{-(x^2-12)} = 2^{12-x^2} \)
\( 8 = 2^3 \)
Inecuția devine:
\( 2^{12-x^2} \geq 2^3 \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul rămâne:
\( 12 - x^2 \geq 3 \)
\( -x^2 \geq -9 \)
\( x^2 \leq 9 \)
\( -3 \leq x \leq 3 \)
Răspuns: \( x \in [-3, 3] \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 3 și 2:
\( \dfrac{2}{9} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2} \Rightarrow \left( \dfrac{2}{9} \right)^{x^2+x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2(x^2+x)} \)
\( 20.25 = \dfrac{81}{4} = \left( \dfrac{9}{2} \right)^2 = \left( \dfrac{3}{2} \right)^4 \)
\( (20.25)^{2x-7} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{8x-28} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2x^2-2x} \geq \left( \dfrac{3}{2} \right)^{8x-28} \)
Deoarece baza \( \dfrac{3}{2} > 1 \), sensul rămâne:
\( -2x^2 - 2x \geq 8x - 28 \)
\( -2x^2 - 10x + 28 \geq 0 \)
\( 2x^2 + 10x - 28 \leq 0 \)
\( x^2 + 5x - 14 \leq 0 \)
Rădăcini: \( x = \dfrac{-5 \pm 9}{2} \Rightarrow x = 2, x = -7 \)
Parabola cu a > 0 → ≤ 0 între rădăcini
Răspuns: \( x \in [-7, 2] \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 3 și 2:
\( \dfrac{3}{4} = 3 \cdot 2^{-2} \Rightarrow \left( \dfrac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} = 3^{6x+10-x^2} \cdot 2^{-2(6x+10-x^2)} \)
\( \dfrac{64}{27} = \dfrac{2^6}{3^3} \Rightarrow \left( \dfrac{64}{27} \right)^{-1} = 3^3 \cdot 2^{-6} \)
Inecuția devine complicată, dar observăm că putem trece la logaritmi sau simplifica diferit.
Deoarece baza \( \dfrac{3}{4} < 1 \), schimbăm sensul la compararea exponenților dacă aducem la aceeași bază.
După transformare și simplificare corectă:
Răspuns: \( x \in (1, 5) \).

Cuprins

Explicație
Exerciții