Item 4 - exercitii de exersare

Exerciții

Determinați valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care \( (1+i)xi + (2-3i)y = 3 - 2i \).

Fie \( z_1 \) și \( z_2 \) soluțiile complexe ale ecuației \( z^2 + (2 + i)z + 3 - i = 0 \). Determinați \( |z_1 + z_2| \).

Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).

Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{\cos^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\sin^2 x} \). Arătați că \(\displaystyle E\left( \frac{\pi}{6} \right) \) este număr natural.

Determinați numarul complex \(z\): \(z - 4\overline{z} = -2z - 3\overline{z} + 4 + 4i\)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (2 - 3i)(1 + 2i) - iz = i - z \).

Să se determine numerele complexe \( z \), care verifică relația \( z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0 \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{2\sin{2x} -4 + 8\cos{x} -2\sin{x}}{2\sin x - \sqrt{3}} = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^2 - 2(1 - i)z + 1 - 2i = 0 \).

Determinați numărul complex \( z = a + bi \), \( a, b \in \mathbb{R} \), \( i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \frac{2\overline{z}}{z + 5} = 3i, \) unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{\sin^2{x}-3\cos{x}+3}{\sqrt{16-x^2}} = 0 \)

Fie numărul complex \( z = 1 - 5i \). Arătați că \( w = z + 2i\overline{z} + 3i \) este un număr real, unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\sin^2 x -2\sin x + \operatorname{tg} x \cdot \cos x -1 = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \(3 + i\bar{z} = 2z\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

Determinați numarul complex \(z\): \(\overline{z} = 2z - 3 - 18i\)

Fie \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), astfel încât \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} \). Să se calculeze \( \sin 2\alpha \).

\(\text{Determinați valoarea expresiei} \, E(x) = 169 \sin(2x) - 50 tg x, \, \text{dacă} \, \sin x = \displaystyle \frac{12}{13}, \, x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}; \pi\right).\)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2x - x^2 + 3}} = 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( 2iz^2 + (4 - i)z - 1 - 3i = 0 \).

Calculați \( |z_1 - z_2| \), dacă se știe că numerele \( z_1 \) și \( z_2 \) sunt soluțiile ecuației \( z^2 - (5 - 2i)z + 5(1.5 - i) = 0 \).

Aflați valoarea expresiei \( \sin \alpha \cos \alpha \), știind că \( \sin \alpha + \cos \alpha = 0,6 \).

Determinați numărul \( z \in \mathbb{C} \), dacă \(\displaystyle \frac{\bar{z} + 7i}{z} = 6 \).

Aduceți la o formă mai simplă expresia \( E(x) = (1 - \sin^2 x) \cdot \operatorname{ctg}^2 x + 1 - \operatorname{ctg}^2 x \).

Determinați numerele complexe \( z = a + bi, a,b \in \mathbb{R}, i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} z + i && 1 - 2i \\ \overline{z} && 5 \end{vmatrix} = 10 + 20i. \)

Să se afle soluțiile ecuației \(\displaystyle 3 + 2 \sin^2 x - 5 \cos 4x = \frac{8}{1 + \operatorname{tg}^2 x}\), care aparțin intervalului \([\pi; 2\pi]\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2^{\cos 2x} = 3 \cdot 2^{\cos^2 x} - 4 \).

Fie expresia \(\displaystyle E(\alpha) = \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \). Să se afle \(\displaystyle E\left( \frac{\pi}{4} \right) \).

Determinaţi soluţiile reale ale ecuaţiei \( \sqrt{3} \cos x - \sin 2x = 0 \), care satisfac condiţia \( |x| < 2 \).

Determinați soluțiile reale ale ecuației \( \sin (2x) = 1 + \cos (2x) \), care aparțin intervalului \( [0, \pi] \).

Determinați valoarea expresiei \(E(\alpha) = 9 tg(\alpha) - 40\), dacă \(\sin(\alpha) = \displaystyle \frac{40}{41}\) și \(\alpha \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right)\).

Fie \( \displaystyle E(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos(\pi - \alpha) + \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} \). Arătați că \( \displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right) \) este un număr natural.

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\sin^2 x-3\cos x - 3 = 0 , \quad x \in \left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right) \)

Determinați valorile reale ale lui \( x \in \left(\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right) \), pentru care \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x-\cos x \mathrm{tg} \frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \)

Determinați numerele complexe \( z = a + bi \), \( a, b \in \mathbb{R}, \, i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} z + 2i && 3 - i \\ \overline{z} && 2 \end{vmatrix} = -6 - 20i. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2\sin 2x - 4 + 8\cos x - 2\sin x}{2\sin x - \sqrt{3}} = 0 \).

Calculați \( \displaystyle D\left(\frac{\pi}{8}\right) \), dacă \( \displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \sin x - \cos x & 4\sin x \\ \sin x & 4\cos x \end{vmatrix}. \)

Fie expresia \( E(z) = pz^2 + p^2z + 2 - 6i \). Determinați valorile reale ale lui \( p \), pentru care \( E(1 + 2i) \) este un număr real nenul.

Fie numărul complex \( z = 1 + 3i \). Demonstrați că numărul \(\displaystyle u = \frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z} \) este real.

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\cos\left(\displaystyle \frac{\pi x}{4}\right) \sqrt{3x - x^2} = 0\).

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) ecuația \( 4\sin x = \sin 2x + 2\sin^2 x \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\cos^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{2}\sin 2x \).

Determinați valorile reale ale lui \( x \) și \( y \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} x - yi & 2 + i \\ 2x & i \end{vmatrix} = 1 + 2i \)

Să se rezolve în \( \mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle (1+i) z^{2}-(4+2 i) z+4=0\)

Determinați numărul de soluții reale ale ecuației \(\displaystyle \frac{13 \cos \alpha + 5}{5 tg \alpha + 12} = 0\), care aparțin intervalului \((-\pi, \pi)\).

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care numerele \( z_1 = x^2 + 4y - yi \) și \( z_2 = 4 + y - \frac{2}{i} - x^2 i \) vor fi conjugate.

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (1 + i)z^2 - (5 + 2i)z + 5 = 0 \).

Se știe că \( 3\bar{z} + 2z = 10 - 3i \). Determinați \( z \cdot \bar{z} \), unde \( \bar{z} \) reprezintă conjugatul numărului complex \( z \).

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care are loc egalitatea \(\displaystyle \frac{x-2 + (y-3)i}{1+i} = 1-3i \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 5\cos(2\alpha) - \frac{7}{60} tg(2\alpha) \), dacă se știe că \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) și \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x - \sin(3x)}{\sqrt{4x - x^2}} = 0 \).

Determinați numarul complex \(z\): \(2z - 3\overline{z} = -6 - 4i\)

Rezolvați în \(\mathbb{C}\) ecuația: \(\displaystyle z^2 - (4 + 3i)z + 4 + 6i = 0. \)

Fie \( z = 1 + i \). Arătați că \(\displaystyle w = \frac{z}{\bar{z}} + i^5 \) este un număr pur imaginar, unde \( i^2 = -1 \), iar \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

Fie \( z_1 \) și \( z_2 \) soluțiile ecuației \( z^2 - 6z + 10 = 0 \). Aflați valoarea expresiei \( z_1^2 + z_2^2 \).

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle \frac{3}{5+2\sin(2x)} \), dacă \( tg x = 0,2 \).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (2 + i)z = 5 \).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( 2z + |z| = 1 + 2i \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\sin^2 x - 2\sin x + \operatorname{tg} x \cdot \cos x - 1 = 0 \).

Fie \( z = \begin{vmatrix} 2x + yi & 3x - yi \\ -i^3 & 1 \end{vmatrix} \). Aflați numerele reale \( x \) și \( y \), astfel încât \( z = 3 - 5i \), unde \( i^2 = -1 \).

\(\text{Calculați valoarea expresiei} \, E(\alpha) = \displaystyle \frac{4}{5} tg \alpha + \displaystyle \frac{5}{12} \sin(2\alpha), \, \text{dacă} \, \cos \alpha = -\displaystyle \frac{4}{5} \, \text{și} \, \alpha \in \left(-\pi, -\displaystyle \frac{\pi}{2}\right).\)

Arătați că valoarea expresiei \( E(x) = \cos^2 x \cdot (\operatorname{tg} x + 2)(2\operatorname{tg} x + 1) - 5\sin x \cos x \) este număr natural.

Calculați: \(\displaystyle D\left(\frac{\pi}{12}\right), \, \text{dacă} \, D(x) = \left| \begin{array}{cc} \sin x & 1 + \cos(2x) \\ 2\sin^2 x & 4\cos x \end{array} \right| \)

Fie numărul complex \( z = 3-2i \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( z^2 + az \) este număr real.

Determinați soluțiile reale ale ecuației \( \sqrt{3}\cos x - \sin(2x) = 0 \), pentru care \( |x| < 2 \).

Determinați valorile reale ale lui \( a \) pentru care numărul complex \( z = a + 4i \) are modulul egal cu 5.

Determinați numărul complex \( z = a + bi, \ a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \(\displaystyle \begin{vmatrix} 2z + \bar{z} & i \\ 1 - 3i & 1 \end{vmatrix} = i. \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sin^3 x + \cos^3 x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2x \).

Să se afle coeficienții reali \( p \) și \( q \), știind că \( z = 4 - 3i \) este soluție a ecuației \( z^2 + pz + q = 0 \).

Fie \(\alpha\) măsura în grade a unui unghi al unui triunghi dreptunghic, care verifică egalitatea \(3 - 2 \cos^2 \alpha - 2\sqrt{2} \sin \alpha = 0\). Determinați măsurile în grade a unghiurilor ascuțite ale triunghiului.

Calculați valoarea expresiei: \( E(x) = 3\sin2x + 4tg2x \), dacă \( \cos x = -\displaystyle \frac{3}{5} \) și \( x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right) \).

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{C} \) ecuația \( |z| - iz = 1 - 2i \).

Se consideră \( a \in \mathbb{R} \) și numărul complex \(\displaystyle z = \frac{a+2i}{2+ai} \). Determinați \( a \) pentru care \( z \in \mathbb{R} \).

Determinați valoarea expresiei \( E(x) = 26 \cdot \sin 2x + 25 \cdot \operatorname{tg} x \), știind că \(\displaystyle \cos x = -\frac{5}{13} \) și \(\displaystyle x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \).

Să se afle \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât numărul \( z = 3i^7 + 2mi^2 + (2+m)i + 5 - i \) să fie real.

\( D(\alpha) = \begin{vmatrix} -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\ \cos(\alpha) & \sin(\alpha) + 4\cos(\alpha) \end{vmatrix} \). Arătați că valoarea expresiei \(D\left(\displaystyle \displaystyle \frac{\pi}{12}\right)\) este un număr întreg.

Într-un triunghi, \(\alpha\) este măsura în grade a unui unghi. Determinați \(\alpha\), dacă se cunoaște că \(\cos(2\alpha) + \sin \alpha - 1 = 0\).

Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}. \) Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right).\)

\( d = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \(\mathbb{C}\) ecuația \(z^2 + 2z + d = 0\).

Să se determine \( z \in \mathbb{C} \) știind că \(\displaystyle \frac{\bar{z} + 7i}{z} = 6 \).

Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\sin x} + \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x} \), unde \(\displaystyle x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) \). Arătați că valoarea expresiei \( E(x) \) este număr întreg.

Determinați numărul complex \(z = a + bi, a, b \in \mathbb{R}\), pentru care \(3 + i \overline{z} = 2z\), unde \(\overline{z}\) este conjugatul numărului \(z\).

Să se aducă la o formă mai simplă expresia \(\displaystyle E(\alpha) = \sqrt{ \frac{2}{1+\cos \alpha} + \frac{2}{1-\cos \alpha} } \), știind că \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Calculați \(tg(2x)\), dacă \(x \in \displaystyle \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\) și \(\cos x = -\frac{3}{5}\).

Știind că \( \alpha \in \mathbb{R} \) și că \(\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{3} \), să se calculeze \( \sin 2\alpha \).

Fie \(\displaystyle E(\alpha) = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{1 - 2 \sin^2 \alpha} \). Aflați valoarea expresiei \(\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right) \).

\(\text{Arătați că matricea } A(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 2\sin^2\alpha & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2\cos^2\alpha & 4 \end{pmatrix} \text{ este inversabilă, pentru orice număr real } \alpha.\)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( 4zi + (1 - 2i)z = z - 2 + 4i \), unde \( i^2 = -1 \).

Fie numerele complexe \( z_1 = 1 - 2i \) și \( z_2 = 3 - i \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care numărul \( w = a^2 z_1^2 + 4a \overline{z_2} \) este un număr real nenul, unde \( \overline{z_2} \) este conjugatul lui \( z_2 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \cos^2 x - 2\cos x = 4\sin x - \sin 2x \).

Calculați valoarea expresiei \(E(\alpha) = \frac{4}{5} \operatorname{tg} \alpha + \frac{5}{12} \sin(2\alpha)\), dacă \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) și \(\alpha \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})\).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\cos^2{x}-5\sin{x}-4 = 0 \), pentru care \( |x| < 3 \)

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle (3 - i)z^2 - (4 - i)z + 2 = 0 \)

Determinați numerele reale \( x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \), care verifică ecuația \( \cos(2x) = \cos x \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(2 \sin^2 x - 2 \sin x + tg x \cdot \cos x - 1 = 0\).

Determinați numărul complex \( z = a + bi, \, a,b \in \mathbb{R}, \, i^2 = -1 \), pentru care matricea \( A = \begin{pmatrix} z & 2 \\ 1 & 1 + i \end{pmatrix} \) nu este inversabilă.

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (1 + i)z = 3 - i \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle 2 z^{2}-(4+i) z+2+i^{5}=0\)

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} z & 2 \\ 1 & 1 + i \end{pmatrix} \) nu este inversabilă.

100

\(\text{Fie matricea } A = \begin{pmatrix} iz & 2i-1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}. \text{ Determinați numerele complexe } z, \text{ pentru care matricea } A \text{ nu este inversabilă.}\)

101

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 5\sin^2{x} +5\sin{x}\cos{x} = 0 , \quad x \in \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right] \)

102

Fie matricea: \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 + i & 1 & -1 \\ i & 1 & 0 \\ 1 + bi & 2 & 2 - i \end{pmatrix}, \) unde \(b \in \mathbb{R}\). Determinați valoarea lui \(b\) pentru care: \(\displaystyle \det(A) \in \mathbb{R}. \)

103

Calculați suma soluțiilor reale ale ecuației \( (1 - 2 \cos^2 x) \cdot \sqrt{9 - 4x^2} = 0 \).

104

Fie matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} iz & 2i-1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.

105

Să se afle numărul complex \( z = x + yi \), dacă \( |z| = z + 8 - 12i \).

106

\( \displaystyle \text{Determinați numerele complexe } z = a + bi, \; a, b \in \mathbb{R}, \; i^2 = -1, \; \text{pentru care } \begin{vmatrix} 2z + 6i & \overline{z} \\ 3 + i & 1 \end{vmatrix} = 0. \)

107

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 8 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0 \).

108

Să se afle valoarea expresiei \( E = \cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \) pentru \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).

109

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\cos(2x) + 5\sin x - 3}{\sqrt{\cos x}} = 0 \).

110

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^2 - z(2 + 5i) - 5 + 5i = 0 \).

111

Să se determine numerele reale \( x \) și \( y \) din relația \( (1-2i)x + (1+2i)y = 1 + i \).

112

Fie \( \displaystyle d=\left|\begin{array}{lll}1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1\end{array}\right| \). Rezolvați în C ecuația \( \displaystyle z^{2}+2 z+d=0 \).

113

Determinați modulul numărului complex \( z \), dacă \( |z| - z = 2 + 4i \).

114

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \frac{2\bar{z} + 4i}{z + 1} = i \), unde \( \bar{z} \) este conjugatul lui \( z \).

115

Fie \( D(\alpha) = \begin{vmatrix} -\sin \alpha & \cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha + 4 \cos \alpha \end{vmatrix} \). Calculați \( D\left(\displaystyle \frac{\pi}{12}\right) \).

116

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} 4 \sin x & 1 \\ 1 & \cos x \end{vmatrix} = 0. \)

117

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \((1 + i)z = \bar{z} - 2\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

118

Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\sin x} + \frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{\cos x} \) dacă \( x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \).

119

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \cos{2x} - 5 \sin x - 4 = 0 , \quad x \in ( -\pi; 0 ) \)

120

Calculați valoarea expresiei: \(E(x) = 48 tg(x) + 14\), dacă \(\sin(x) = \displaystyle \frac{7}{25}\) și \(x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right)\).

121

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^3 - z^2 + z - 1 = 0 \).

122

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\cos{2x} + 4\sqrt{3}\cos x + 5 = 0 , \quad x \in \left( -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right) \)

123

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( iz^2 - 3z + i = 0 \).

124

Fie expresia: \(\displaystyle E(\alpha) = \frac{\left(1 + tg\alpha\right)^2}{1 + tg^2\alpha} - 1. \). Calculați valoarea expresiei: \(\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right). \)

125

Aflați soluțiile ecuației \( 1 - 5\sin x + 2\cos^2 x = 0 \), care verifică condiția \( \cos x \geq 0 \).

126

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 6\sin^2 x - 2\sin(2x) = 5 \).

127

Fie expresia \(\displaystyle E(\alpha) = \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{2 \sin^2 \alpha} \). Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E\left(\frac{\pi}{12}\right) \).

128

Determinați numărul complex \(z = a + bi\), unde \(a, b \in \mathbb{R}\), pentru care: \(\displaystyle \begin{vmatrix} 2z + \overline{z} & i \\ 1 - 3i & 1 \end{vmatrix} = i, \) unde \(i^2 = -1\), iar \(\overline{z}\) este conjugatul lui \(z\).

129

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \((\sqrt{3} \cos x - \sin(2x)) \cdot \sqrt{x^2 - 4} = 0\)

130

\(\text{Determinați toate valorile reale ale lui } x, \text{ pentru care matricea } A = \begin{pmatrix} 2\sin x & 1 \\ 1 & ctg x \end{pmatrix} \text{ este inversabilă.}\)

131

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sqrt{2} \sin^2 x = \cos x \) și să se afle soluțiile ecuației care aparțin intervalului \(\displaystyle \left( -\pi, \frac{\pi}{2} \right) \).

132

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^2 - (2 - i)z + 3 - i = 0 \), unde \( i^2 = -1 \).

133

Să se afle valoarea expresiei: \(E(\alpha) = 34 \sin(\alpha) + 15 \cdot ctg(\alpha)\), dacă \(\cos(\alpha) = -\displaystyle \frac{8}{17}\) și \(\alpha \in \left(\pi, \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\).

134

Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).

135

Determinați valoarea expresiei \( \displaystyle E(x) = \frac{\sqrt{2}}{7} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \), dacă se știe că \( \displaystyle \cos x = -\frac{5}{13} \) și \( \displaystyle x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \).

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Pentru ca fracția să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero:
\(\displaystyle 2\sin{2x} - 4 + 8\cos{x} - 2\sin{x} = 0\) și \(\displaystyle 2\sin x - \sqrt{3} \neq 0\)
Pasul 2: Folosim identitatea \(\displaystyle \sin{2x} = 2\sin x \cos x\) pentru a rescrie ecuația:
\(\displaystyle 4\sin x \cos x - 4 + 8\cos x - 2\sin x = 0\)
\(\displaystyle 2\sin x \cos x - 2 + 4\cos x - \sin x = 0\)
Pasul 3: Grupăm termenii și factorizăm:
\(\displaystyle 2\cos x (\sin x + 2) - (\sin x + 2) = 0\)
\(\displaystyle (\sin x + 2)(2\cos x - 1) = 0\)
Pasul 4: Analizăm soluțiile:
\(\displaystyle \sin x + 2 = 0\) implică \(\displaystyle \sin x = -2\), ceea ce nu are soluții deoarece \(\displaystyle -1 \le \sin x \le 1\).
\(\displaystyle 2\cos x - 1 = 0\) implică \(\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}\).
Pasul 5: Găsim soluțiile pentru \(\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}\) în intervalul dat \(\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = 1\)).
Pasul 6: Verificăm dacă soluția respectă condiția \(\displaystyle 2\sin x - \sqrt{3} \neq 0\):
\(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle 2\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) - \sqrt{3} = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sqrt{3} = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3} \neq 0\)
Soluția este validă.
Pasul 7: Scriem soluția finală:

\(S=\{0\}\)
Pasul 1: Pentru ca fracția să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero:
\(\displaystyle \sin^2{x} - 3\cos{x} + 3 = 0\) si \(\displaystyle \sqrt{16-x^2} \neq 0\)
Pasul 2: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \cos x\):
\(\displaystyle 1 - \cos^2{x} - 3\cos{x} + 3 = 0\)
\(\displaystyle -\cos^2{x} - 3\cos{x} + 4 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle \cos^2{x} + 3\cos{x} - 4 = 0\)
Pasul 3: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \cos x\):
\(\displaystyle y^2 + 3y - 4 = 0\)
Pasul 4: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (y + 4)(y - 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -4\) sau \(\displaystyle y = 1\).
Pasul 5: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \cos x = -4\) sau \(\displaystyle \cos x = 1\)
Pasul 6: Analizăm soluțiile. Deoarece \(\displaystyle -1 \le \cos x \le 1\), \(\displaystyle \cos x = -4\) nu are soluții.
Pentru \(\displaystyle \cos x = 1\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Pasul 7: Verificăm condiția \(\displaystyle \sqrt{16-x^2} \neq 0\), adică \(\displaystyle 16 - x^2 > 0\), ceea ce înseamnă \(\displaystyle -4 < x < 4\).
Pentru \(\displaystyle x=0 (k=0) \), avem \(\displaystyle \sqrt{16-0^2} = 4 \)
Pasul 8: Scriem soluția finală:

Pasul 1: Simplificăm termenul \(\displaystyle \operatorname{tg} x \cdot \cos x\):
\(\displaystyle \operatorname{tg} x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x\)
Ecuația devine:
\(\displaystyle 2\sin^2 x - 2\sin x + \sin x - 1 = 0\)
\(\displaystyle 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \sin x\):
\(\displaystyle 2y^2 - y - 1 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 1)(y - 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle y = 1\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle \sin x = 1\)
Pasul 5: Găsim soluțiile pentru fiecare caz în intervalul dat \(\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\):
Pentru \(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6}\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = 0\)).
Pentru \(\displaystyle \sin x = 1\):
Soluția generală este \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Nu există soluții în intervalul \(\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\).
Pasul 6: Scriem soluția finală:

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate al ecuației este mulțimea \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \). Folosind formula \(1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\), ecuația se scrie: \[ 3 + 2 \sin^2 x - 5 \cos 4x = 8 \cos^2 x \] Aplicând formulele \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), \( \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 \), obținem: \[ 3 + 2 \cdot \frac{1-\cos 2x}{2} - 5(2\cos^2 2x - 1) = 8 \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} \] \[ 3 + 1 - \cos 2x - 10\cos^2 2x + 5 - 4 - 4\cos 2x = 0 \] \[ -10\cos^2 2x - 5\cos 2x + 5 = 0 \implies 2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 = 0 \] Notăm \( \cos 2x = t \), deci \( 2t^2 + t - 1 = 0 \) cu soluții \( t_1 = -1 \), \( t_2 = \frac{1}{2} \).
Ecuațiile devin: \( \cos 2x = -1 \) și \( \cos 2x = \frac{1}{2} \). Ecuația \( \cos 2x = -1 \) are soluții \( 2x = \pi + 2\pi k \), adică \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), dar pe intervalul \([\pi; 2\pi]\) singura soluție este \( x = \frac{3\pi}{2} \), care nu aparține domeniului de valabilitate. Ecuația \( \cos 2x = \frac{1}{2} \) are soluții \( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), adică \( x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n \). Pe intervalul \([\pi; 2\pi]\) se află soluțiile \( x_1 = \frac{7\pi}{6} \), \( x_2 = \frac{11\pi}{6} \).

Pasul 1: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \cos x\):
\(\displaystyle 2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x - 3 = 0\)
\(\displaystyle 2 - 2\cos^2 x - 3\cos x - 3 = 0\)
\(\displaystyle -2\cos^2 x - 3\cos x - 1 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \cos x\), pentru a transforma ecuația într-o ecuație de gradul al doilea:
\(\displaystyle 2y^2 + 3y + 1 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Putem folosi formula quadratică sau factorizarea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 1)(y + 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle y = -1\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle \cos x = -1\)
Pasul 5: Găsim soluțiile pentru fiecare caz în intervalul dat \(\displaystyle \left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right)\):
Pentru \(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = -\frac{4\pi}{3}\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = -1\) în \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)).
Pentru \(\displaystyle \cos x = -1\):
Soluția generală este \(\displaystyle x = (2k+1)\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul dat, \(\displaystyle x = -\pi\) este o soluție (pentru \(\displaystyle k = -1\)).
Pasul 6: Scriem soluția finală:

Rezolvare:
Folosind formula \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), ecuația se scrie: \[ 2\cos^2 x + \sin^2 x = 3\sin x \cos x \] \[ \sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0 \] Împărțind cu \( \cos^2 x \) (dacă \( \cos x \neq 0 \)): \[ \operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0 \] Cu soluțiile \( t_1 = 1, t_2 = 2 \), deci \( \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( \operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n \), \( k, n \in \mathbb{Z} \).

\( \displaystyle \Delta = (4+2i)^2 - 4(1+i)(4) = 16 + 16i - 4 - 16 - 16i = -4 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 2i \)
\( \displaystyle z = \frac{4+2i \pm 2i}{2(1+i)} \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{4+4i}{2+2i} = \frac{2(2+2i)}{2+2i} = 2 \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{4}{2+2i} = \frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{2} = 1 - i \)

Rezolvare:
Fie \( z = a + bi \), \( \bar{z} = a - bi \). Înlocuim: \(\displaystyle 3(a - bi) + 2(a + bi) = 10 - 3i \implies 3a - 3bi + 2a + 2bi = 10 - 3i \implies 5a - bi = 10 - 3i \) Egalăm partea reală și imaginară: \(\displaystyle \begin{cases} 5a = 10 \implies a = 2 \\ -b = -3 \implies b = 3 \end{cases} \) Deci \( z = 2 + 3i \), \( \bar{z} = 2 - 3i \).
\(\displaystyle z \cdot \bar{z} = (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13 \)

Rezolvare:
Deoarece \( x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), rezultă că \( \sin x > 0 \). Calculăm: \[ \sin x = \sqrt{1-\cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{120}{169} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} \] \[ E = 26 \cdot \left(-\frac{120}{169}\right) + 25 \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) = -\frac{3120}{169} - 60 = -\frac{3120 + 10140}{169} = -\frac{1020}{13} \]

Rezolvare:
Se scrie \( \bar{z} + 7i = 6z \). Fie \( z = x + yi \), \( x, y \in \mathbb{R} \), \( i^2 = -1 \).
\( x - yi + 7i = 6(x + yi) \implies x - (y - 7)i = 6x + 6yi \).
Comparând partea reală: \( x = 6x \implies x = 0 \).
Comparând partea imaginară: \( -(y-7) = 6y \implies y = 1 \).
Deci \( z = i \).

Rezolvare:
Ecuația se mai scrie \( \cos x(\cos x - 2) = 4\sin x - 2\sin x \cos x \Leftrightarrow \cos x(\cos x - 2) = 2\sin x(2 - \cos x) \).
\(\Rightarrow \cos x(\cos x - 2) - 2\sin x(2-\cos x) = 0 \)
\(\Rightarrow \cos x(\cos x - 2) + 2\sin x(\cos x - 2) = 0 \)
\(\Rightarrow (\cos x - 2)(\cos x + 2\sin x) = 0 \)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x - 2 = 0 \\ \cos x + 2\sin x = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 2 \ (\text{imposibil}) \\ 2\operatorname{tg} x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi k \end{array}\right., \, k \in \mathbb{Z} \)

\(\displaystyle S=\left\{ -\frac{\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6} \right\} \)
Pasul 1: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \sin x\):
\(\displaystyle 2(1 - \sin^2{x}) - 5\sin{x} - 4 = 0\)
\(\displaystyle 2 - 2\sin^2{x} - 5\sin{x} - 4 = 0\)
\(\displaystyle -2\sin^2{x} - 5\sin{x} - 2 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle 2\sin^2{x} + 5\sin{x} + 2 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \sin x\):
\(\displaystyle 2y^2 + 5y + 2 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 1)(y + 2) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle y = -2\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\) sau \(\displaystyle \sin x = -2\)
Pasul 5: Analizăm soluțiile. Deoarece \(\displaystyle -1 \le \sin x \le 1\), \(\displaystyle \sin x = -2\) nu are soluții.
Pentru \(\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Pasul 6: Găsim soluțiile pentru care \(\displaystyle |x| < 3\). Aproximăm \(\displaystyle \pi \approx 3.14\), deci:
\(\displaystyle \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.14}{6} \approx 3.66 > 3\), deci nu este o soluție.
Pentru \(\displaystyle k = -1\), \(\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\). Atunci \(\displaystyle |x| = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62 < 3\), deci este o soluție.
\(\displaystyle \frac{11\pi}{6} \approx \frac{11 \cdot 3.14}{6} \approx 5.76 > 3\), deci nu este o soluție.
Pentru \(\displaystyle k = -1\), \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6}\). Atunci \(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52 < 3\), deci este o soluție.
Pasul 7: Scriem soluția finală:

\( \displaystyle \Delta = (4+i)^2 - 4(2)(2+i) = 16 + 8i - 1 - 16 - 8i = -1 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = i \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{4+i + i}{4} = \frac{4+2i}{4} = 1 + \frac{1}{2}i \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{4+i - i}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

101

Pasul 1: Factorizăm ecuația:
\(\displaystyle 5\sin{x}(\sin{x} + \cos{x}) = 0\)
Pasul 2: Analizăm soluțiile:
\(\displaystyle \sin{x} = 0\) sau \(\displaystyle \sin{x} + \cos{x} = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm fiecare caz:
Pentru \(\displaystyle \sin{x} = 0\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul \(\displaystyle \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right]\), singura soluție este \(\displaystyle x = \pi\).
Pentru \(\displaystyle \sin{x} + \cos{x} = 0\):
\(\displaystyle \sin{x} = -\cos{x}\)
\(\displaystyle \operatorname{tg}{x} = -1\)
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
În intervalul \(\displaystyle \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right]\), soluția este \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\).
Pasul 4: Scriem soluția finală:

107

Rezolvare:
Fie ecuația \( 8 \sin^2 \frac{x}{2} - 3\sin x - 4 = 0 \). \[ 8\sin^2 \frac{x}{2} - 3 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 4(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) = 0 \] \[ 8\sin^2 \frac{x}{2} - 6\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 4\sin^2 \frac{x}{2} - 4\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \] \[ 4\sin^2 \frac{x}{2} - 6\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 4\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \] \[ 2\sin^2 \frac{x}{2} - 3\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \] Deoarece \( \cos \frac{x}{2} \neq 0 \), împărțim ambele părți ale ecuației la \( \cos^2 \frac{x}{2} \) și obținem: \[ 2\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 3\operatorname{tg} \frac{x}{2} - 2 = 0 \] Notăm \( t = \operatorname{tg} \frac{x}{2} \), deci \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \). Soluțiile sunt \( t_1 = -\frac{1}{2} \), \( t_2 = 2 \): Pentru \( t_1 = -\frac{1}{2} \): \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{2}) + \pi k \implies x = -2\operatorname{arctg}(\frac{1}{2}) + 2\pi k \), \( k\in\mathbb{Z} \). Pentru \( t_2 = 2 \): \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 2 \implies \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2) + \pi n \implies x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi n \), \( n\in\mathbb{Z} \).

108

Rezolvare:
Se grupează termenii: \( E = (\cos^4 \alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^4\alpha) - \cos^2\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \).
Atunci \( E\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \).

111

Rezolvare:
Avem \( x-2xi + y + 2yi = 1 + i \), adică \( (x+y) + (-2x+2y)i = 1 + i \). Comparând partea reală și imaginară, obținem sistemul: \(\displaystyle \begin{cases} x + y = 1 \\ -2x + 2y = 1 \end{cases} \) Rezolvăm: \( 2x + 2y = 2 \), adunăm cu a doua ecuație: \(\displaystyle 2x + 2y - 2x + 2y = 2 + 1 \implies 4y = 3 \implies y = \frac{3}{4} \) Apoi \( x + \frac{3}{4} = 1 \implies x = \frac{1}{4} \).

112

Rezolvare:
\( \displaystyle \begin{array}{l} d=\left|\begin{array}{lll} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \end{array}\right|=1+6-5=2 \Rightarrow z^{2}+2 z+2=0 \\ \Delta=4-8=-4=4 i^{2} ;\left[\begin{array}{l} z=-1+i \\ z=-1-i \end{array}\right. \end{array} \)

116

Rezolvare:
Ecuația devine \( 4\sin x \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \).
\[ 2x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \implies 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \] \[ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \]

119

Pasul 1: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \sin x\):
\(\displaystyle 1 - 2\sin^2{x} - 5\sin x - 4 = 0\)
\(\displaystyle -2\sin^2{x} - 5\sin x - 3 = 0\)
Înmulțim cu -1:
\(\displaystyle 2\sin^2{x} + 5\sin x + 3 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \sin x\), pentru a transforma ecuația într-o ecuație de gradul al doilea:
\(\displaystyle 2y^2 + 5y + 3 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Factorizăm:
\(\displaystyle (2y + 3)(y + 1) = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{3}{2}\) sau \(\displaystyle y = -1\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \sin x = -\frac{3}{2}\) sau \(\displaystyle \sin x = -1\)
Pasul 5: Analizăm soluțiile. Deoarece \(\displaystyle -1 \le \sin x \le 1\), \(\displaystyle \sin x = -\frac{3}{2}\) nu are soluții.
Pentru \(\displaystyle \sin x = -1\):
Soluția generală este \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Pasul 6: Găsim soluțiile în intervalul dat \(\displaystyle (-\pi; 0)\). Pentru \(\displaystyle k = 0\), obținem \(\displaystyle x = -\frac{\pi}{2}\), care se află în interval.
Pasul 7: Scriem soluția finală:

122

Pasul 1: Folosim identitatea trigonometrică \(\displaystyle \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1\) pentru a rescrie ecuația în termeni de \(\displaystyle \cos x\):
\(\displaystyle 2(2\cos^2{x} - 1) + 4\sqrt{3}\cos x + 5 = 0\)
\(\displaystyle 4\cos^2{x} - 2 + 4\sqrt{3}\cos x + 5 = 0\)
\(\displaystyle 4\cos^2{x} + 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0\)
Pasul 2: Introducem o variabilă nouă, \(\displaystyle y = \cos x\):
\(\displaystyle 4y^2 + 4\sqrt{3}y + 3 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Observăm că este un pătrat perfect:
\(\displaystyle (2y + \sqrt{3})^2 = 0\)
Deci, \(\displaystyle y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Pasul 4: Revenim la variabila inițială \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Pasul 5: Găsim soluțiile în intervalul dat \(\displaystyle \left( -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right)\):
Soluțiile generale sunt \(\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) și \(\displaystyle x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), unde \(\displaystyle k\) este un întreg.
Pentru \(\displaystyle k = -1\), avem \(\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\), care se află în intervalul \(\displaystyle \left( -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right)\).
Pentru \(\displaystyle k = 0\), avem \(\displaystyle x = -\frac{5\pi}{6}\), care nu se află în intervalul \(\displaystyle \left( -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right)\).
Pasul 6: Scriem soluția finală:

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări