Item 6 - exercitii de exersare
Exerciții
1
Un con circular drept are secțiunea axială un triunghi echilateral cu perimetrul egal cu \( 36 \, \text{cm} \). Aflați volumul conului.
2
Coarda AB a unui cerc are lungimea de \(4\sqrt{3}\) cm și este situată la distanța de 2 cm de centrul O. Determinați măsura unghiului AOB.
3
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Dacă \(OC = 3\sqrt{2}~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
4
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Fie \(M\) mijlocul segmentului \([OC]\) şi \(N\) mijlocul segmentului \([OD]\). Dacă \(MN = 5~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
5
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\) cu \(AB = AC = 10~\mathrm{cm}\), în care \(AM\) este bisectoarea unghiului \(BAC\). Dacă \(BM = 8~\mathrm{cm}\), aflaţi aria triunghiului \(ABC\).
6
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([AA_1]\) și \([BB_1]\) sunt mediane, \(A_1 \in (BC)\), \(B_1 \in (AC)\). Dacă \(A_1B_1 = 4,5~\mathrm{cm}\), să se afle \(AB\).
7
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(AC = 13~\mathrm{cm}\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\) şi \(NP \parallel AB\), \(P \in (AC)\). Să se afle perimetrul patrulaterului \(AMNP\).
8
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(AC = 8{,}5~\mathrm{cm}\), \(BC = 17~\mathrm{cm}\). Să se afle raportul măsurilor unghiurilor \(ABC\) şi \(ACB\) ale triunghiului \(ABC\).
9
Perimetrul rombului este de \( 72 \, \text{cm}\), iar una dintre diagonalele sale are lungimea de \( 18 \, \text{cm}\). Determinați măsurile unghiurilor rombului.
10
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([BD]\) este înălțime, \(D \in (AC)\) şi \([AM]\) este mediană, \(M \in (BC)\). Dacă \(MP \perp AC\) şi \(MP = 5~\mathrm{cm}\), să se afle \(BD\).
11
În desenul alăturat, triunghiul \( ABC \) cu \( m(\angle ACB) = 60^\circ \) este înscris în cercul de centru \( O \) și rază de \( 6 \, \text{cm} \). Determinați lungimea coardei \( AB \).
12
Un triunghi are perimetrul egal cu \(48~\mathrm{cm}\), iar lungimile laturilor triunghiului sunt direct proporționale cu numerele \(3; 4; 5\). Să se afle lungimea medianei corespunzătoare laturii mai mari a triunghiului.
13
În desenul alăturat, punctele \( A \) și \( B \) aparțin cercului de centru \( O \), astfel încât \( m(\angle AOB) = 100^\circ \), iar dreapta \( BC \) este tangentă la cerc. Calculați măsura în grade a unghiului \( ABC \).
14
Fie triunghiul \( \triangle ABC \), în care \( BC = 10 \, \text{cm}, \, AB = 15 \, \text{cm}, \, AC = 12 \, \text{cm} \), iar \( BD \) este bisectoare. Determinați lungimea segmentului \( CD \).
15
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \), în care \( m(\angle A) = 90^\circ, BC = 18 \, \text{cm} \) și \( AB = 9 \, \text{cm} \). Determinați măsura în grade a unghiului \( \angle ABC \).
16
Diagonala unui dreptunghi are lungimea de \(4\sqrt{10}~\mathrm{cm}\). Să se afle aria discului mărginit de cercul circumscris dreptunghiului.
17
Fie triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 60^\circ\) şi \(m(\angle C) = 50^\circ\). Dacă \([BD]\) este bisectoarea unghiului \(B\) al triunghiului, \(D \in (AC)\), să se afle \(m(\angle ABD)\).
18
Determinați perimetrul triunghiului dreptunghic, în care un unghi ascuțit este de \(30^\circ\), iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este de \(4\ \text{cm}\).
19
În triunghiul \(ABC\) cu laturile \(AB = 10 \text{ cm},\, BC = 8 \text{ cm},\, AC = 16 \text{ cm}\), \(MN\) este linie mijlocie. Determinați perimetrul triunghiului \(MBN\).
20
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(m(\angle C) = 2 \cdot m(\angle B)\). Dacă \(AM = 13,5~\mathrm{cm}\), unde \(M\) este mijlocul lui \([BC]\), să se afle \(AC\).
21
În triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A)=90^\circ\), măsura unghiului format de înălțimea \(AD\) şi mediana \(AM\) este de \(60^\circ\), \(D, M \in (BC)\). Dacă \(AD=6~\mathrm{cm}\), să se afle \(BC\).
22
Se consideră cercul \(C(O;R)\) în care punctele \(A\) și \(B\) sunt diametral opuse, iar punctul \(C\) se află pe cerc. Dacă raza cercului este \(R=6~\mathrm{cm}\) și \(m(\angle CBA)=60^\circ\), să se afle \(BC\).
23
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), în care \(AB = 7~\mathrm{cm}\) şi \(BC = 14~\mathrm{cm}\). Fie \([BD]\) bisectoarea unghiului \(ABC\) al triunghiului, \(D \in (AC)\). Să se afle măsura unghiului \(ABD\).
24
Punctele \(A, B, C\) se află pe cercul \(C(O;R)\), astfel încât \(m(\angle ABC) = 90^\circ\) și \(AC = 10~\mathrm{cm}\). Să se afle lungimea cercului.
25
În desenul alăturat, cercul de centru \( O \) este înscris în trapezul \( ABCD \), în care \( AB + CD = 22 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul trapezului \( ABCD \).
26
Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \([AM]\) este mediană, \(M \in (BC)\). Dacă \([MD]\) este mediană în triunghiul \(AMC\), \(D \in (AC)\), şi aria triunghiului \(DMC\) este egală cu \(18~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria triunghiului \(ABC\).
27
Aria totală a cubului din desenul alăturat este de \( 972 \, \text{cm}^2 \). Calculați lungimea diagonalei acestui cub.
28
Fie cercul \(C(O;R)\). Punctele \(A\) și \(B\) se află pe cerc, astfel încât \(m(\angle AOB) = 60^\circ\) și \(AB = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle aria discului mărginit de cerc.
29
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria egală cu \( 36 \, \text{cm}^2 \). Determinați aria laterală a cilindrului.
30
Se consideră dreptunghiul \(ABCD\). Pe semidreapta \([BC)\) se consideră punctul \(M\), astfel încât \(AM \cap CD = \{E\}\) și \(CE = DE\). Dacă aria triunghiului \(ABM\) este egală cu \(52~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria dreptunghiului \(ABCD\).
31
Se consideră cercul \(C(O;R)\), în care punctele \(A\) şi \(B\) sunt diametral opuse şi punctul \(C\) se află pe cerc. Dacă \(BC = \frac{1}{2} AB\), să se afle măsura unghiului \(ABC\).
32
Punctele \(A, B, C\) se află pe cercul \(C(O; R)\), astfel încât \(m(\angle ABC) = 30^\circ\) şi \(AC = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOC\).
33
Aflați volumul unei piramide patrulatere regulate cu înălțimea de \( 12 \, \text{cm} \) și muchia laterală de \( 13 \, \text{cm} \).
34
Latura triunghiului echilateral \( ABC \) este de 12 cm. Determinați lungimea razei cercului înscris în triunghiul \( ABC \).
35
În desenul alăturat vârfurile triunghiului ABC aparțin unui cerc, astfel încât m(∠ABC) = 90°. Lungimea medianei BM este egală cu 2 cm. Determinați lungimea cercului.
36
Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria de \(16\sqrt{3} \, \text{cm}^2\). Determinați volumul conului.
37
Se consideră pătratul \(ABCD\) cu latura de lungime \(8~\mathrm{cm}\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\), iar \(P\) este mijlocul diagonalei \([AC]\). Să se afle aria triunghiului \(MNP\).
38
Triunghiul \(ABC\) este înscris în cercul \(C(O; R)\). Dacă punctele \(B, O, C\) sunt coliniare, să se afle \(m(\angle A)\).
39
Fie pătratul \(ABCD\) cu latura de \(6~\mathrm{cm}\), în care \(AC \cap BD = \{O\}\) şi \(OM \perp AB\), \(M \in (AB)\). Să se afle aria patrulaterului \(MBCO\).
40
O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de \( 6 \, \text{cm} \), iar lungimea medianei corespunzătoare acestei catete este de \( 5 \, \text{cm} \). Aflați lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei.
41
Fie triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), iar \(AM\) este mediană și \(AB = AM\). Să se determine măsura în grade a unghiului \(BCA\).
42
Se consideră trapezul \(ABCD\) cu \(BC \parallel AD\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), iar punctul \(N\) este mijlocul laturii \([CD]\). Dacă \(MN = 9~\mathrm{cm}\) şi \(AD = 3 \cdot BC\), să se afle \(BC\) şi \(AD\).
43
În paralelogramul \( ABCD \), reprezentat pe desen, bisectoarea \( [BF] \) împarte latura \( [AD] \) în segmentele cu lungimile \( AF = 5 \, \text{cm} \) și \( FD = 4 \, \text{cm} \). Calculați perimetrul paralelogramului \( ABCD \).
44
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu diagonala de \( 6\sqrt{6} \, \text{cm} \). Determinați suprafața totală a cilindrului.
45
Din punctul \( A \) exterior cercului \( C(O; r = 8 \, \text{cm}) \) este dusă o tangentă la acest cerc, iar \( M \) este punctul de tangenta. Determinați distanța de la punctul \( A \) la punctul \( M \), dacă \( m(\angle AOM) = 60^\circ \).
46
Fie pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\), \(AC = 8~\mathrm{cm}\) şi \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\). Să se afle aria triunghiului \(MAD\).
47
Se consideră cercul \(C(O; R)\) în care punctele \(A\) şi \(B\) sunt diametral opuse, iar punctul \(C\) se află pe cerc, astfel încît \(m(\angle ABC) = 30^\circ\) şi \(AB = 12~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOC\).
48
Fie triunghiul isoscel \(ABC\) cu \([AB] \equiv [AC]\) în care \(BD \perp AC\), \(D \in (AC)\). Dacă \(m(\angle DBC) = 40^\circ\), să se afle \(m(\angle BAC)\).
49
Se consideră dreptunghiul \(ABCD\) în care punctul \(M\) este mijlocul laturii \([BC]\). Dacă aria triunghiului \(ABM\) este egală cu \(12,5~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria dreptunghiului \(ABCD\).
50
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(BC = 12~\mathrm{cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), punctul \(N\) este mijlocul laturii \([AC]\), iar \(E\) este mijlocul segmentului \([MN]\). Să se afle \(AE\).
51
În desenul alăturat, triunghiul \( \displaystyle ABC \) cu \( \displaystyle BC = 15 \, \text{cm} \) și \( \displaystyle m(\angle BAC) = 60^\circ \) este înscris în cercul cu diametrul \( \displaystyle AC \). Determinați aria discului mărginit de acest cerc.
52
Fie rombul \(ABCD\) în care \(m(\angle ABC) = 60^\circ\) și diagonala \(AC = 7,5~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul rombului \(ABCD\).
53
Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \([AA_1]\) şi \([BB_1]\) sunt mediane, \(A_1 \in (BC)\), \(B_1 \in (AC)\). Dacă perimetrul triunghiului \(A_1B_1C\) este egal cu \(14~\mathrm{cm}\), să se afle perimetrul triunghiului \(ABC\).
54
Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \(m(\angle ABC) = 70^\circ\), \(m(\angle ACB) = 50^\circ\). [BM este bisectoarea unghiului \(ABC\), \(M \in (AC)\), [AN este bisectoarea unghiului \(BAC\), \(N \in (BC)\). Dacă \(BM \cap AN = \{O\}\), să se afle \(m(\angle AOB)\).
55
Trapezul isoscel \(ABCD\) cu \(BC \parallel AD\) este circumscris unui cerc. Dacă \(AB = 7~\mathrm{cm}\), să se afle lungimea liniei mijlocii a trapezului.
56
Aria pătratului înscris într-un cerc este de \(\frac{50}{\pi}~\mathrm{cm}^2\). Să se afle aria discului mărginit de acest cerc.
57
Patrulaterul convex \(ABCD\) este înscris în cercul \(C(O;R)\). Dacă \(m(\angle A) = 4 \cdot m(\angle C)\), să se afle măsurile unghiurilor \(A\) şi \(C\).
58
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(m(\angle C) = 60^\circ\) şi \(AC = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle lungimea cercului circumscris triunghiului \(ABC\).
59
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(AC = 7~\mathrm{cm}\), \(BC = 14~\mathrm{cm}\). Să se afle \(m(\angle ACB)\).
60
Triunghiul \(ABC\) este înscris în cercul \(C(O, r)\). Dacă punctele \(B\), \(O\), \(C\) sunt coliniare, să se afle măsura unghiului \(A\).
61
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(M\) mijlocul lui \([BC]\) şi \(ME \perp AB\), \(E \in (AB)\). Dacă \(ME = 3~\mathrm{cm}\) şi \(BC = 12~\mathrm{cm}\), să se afle \(m(\angle ACB)\).
62
Fie dreptunghiul \(ABCD\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\) şi \(MN = 5~\mathrm{cm}\). Dacă \(AD = 2 \cdot CD\), aflați aria dreptunghiului \(ABCD\).
63
Fie trapezul isoscel \( ABCD \) cu baza mică \( DC = 14 \, \text{cm} \). Aflați perimetrul trapezului, dacă înălțimea trapezului \( CE = EB = 8 \, \text{cm}, E \in [AB] \).
64
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\) cu perimetrul de \(42~\mathrm{cm}\) şi \(AB=AC=12~\mathrm{cm}\). Dacă \(AD \perp BC\), \(D \in (BC)\), să se afle \(CD\).
65
Determinați volumul unui cub, dacă se cunoaște că aria lui totală este egală cu \( 96 \, \text{cm}^2 \).
66
Fie cercul \( C(O;R) \). Punctele \( A, B, C, D \) aparțin cercului, astfel încât \( BC \) și \( AD \) sunt diametre ale cercului. Calculați aria triunghiului \( ABC \), știind că \( AC = 3 \, \text{cm} \) și \( m(\angle COD) = 60^\circ \).
67
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \), în care \( m(\angle B) = 90^\circ \), \( AB = 6 \, \text{cm} \), lungimea medianei \( BM \) este egală cu \( 5 \, \text{cm} \). Determinați aria triunghiului \( ABC \).
68
Triunghiul \(ABC\) este înscris în cercul \(C(O;R)\). Dacă \(m(\overparen{AB}) = 140^\circ\), \(m(\overparen{BC}) = 130^\circ\), să se afle \(m(\angle B)\).
69
Punctele \( A \) și \( C \) aparțin unui cerc de centru \( O \), astfel încât \( m(\angle AOC) = 60^\circ \). Determinați lungimea arcului mic \( AC \), dacă se știe că aria discului mărginit de acest cerc este egală cu \( 144\pi \, \text{cm}^2 \).
70
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(m(\angle B) = 2 \cdot m(\angle C)\). Dacă \(AB = 6~\mathrm{cm}\), să se afle \(BC\).
71
Se consideră triunghiul \(ABC\) care are perimetrul \(48~\mathrm{cm}\) şi \(AB = BC\). Dacă \(BM \perp AC\) şi \(AM = 9~\mathrm{cm}\), să se afle aria triunghiului \(ABC\).
72
Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \(AD \perp BC\), \(D \in (BC)\) și \(BD = DC\). Dacă \(m(\angle BAD) = 32^\circ\), să se afle \(m(\angle ACD)\).
73
Un pătrat cu aria de \(36~\mathrm{cm}^2\) este înscris în cercul \(C(O; R)\). Să se afle aria discului mărginit de cerc.
74
Fie trapezul \(ABCD\) cu \(BC \parallel AD\), care este circumscris cercului \(C(O; R)\). Dacă \(AB + CD = 12~\mathrm{cm}\), să se afle lungimea liniei mijlocii a trapezului.
75
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A)=90^\circ\), \(m(\angle ABC)=30^\circ\). Să se afle valoarea raportului \(\frac{AC}{AB}\).
76
Pătratul \(ABCD\) este înscris în cercul \(C(O;R)\). Dacă \(AB = 10~\mathrm{cm}\), să se afle aria discului mărginit de cerc.
77
Se consideră cercul \(C(O; R)\), în care punctele \(A, B, C\) se află pe cerc, astfel încât \(m(\angle ACB) = 30^\circ\) şi \(AB = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOB\).
78
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\) cu baza \([BC]\), în care \([BE]\) este bisectoare, \(E \in (AC)\). Dacă \(m(\angle EBC) = 36^\circ\), să se afle \(m(\angle BAC)\).
79
Un pătrat are aria egală cu \(81~\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea diagonalei pătratului.
80
Se consideră rombul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Dacă \(m(\angle ABO) = 20^\circ\), să se afle \(m(\angle BCO)\).
81
Se consideră pătratul \(ABCD\) cu aria de \(36~\mathrm{cm}^2\), în care \(AC \cap BD = \{O\}\), \(M\) este mijlocul laturii \([BC]\), \(N\) este mijlocul laturii \([CD]\). Să se afle aria patrulaterului \(AMCN\).
82
Se consideră rombul \(ABCD\) în care punctele \(M, N, P, Q\) sunt mijloacele laturilor \([AB], [BC], [CD]\) și respectiv \([AD]\) ale rombului. Dacă \(AC=12~\mathrm{cm}\) și \(BD=16~\mathrm{cm}\), să se afle aria patrulaterului \(MNPQ\).
83
Fie triunghiul \( \displaystyle ABC \), în care \( \displaystyle PQ \parallel AB, P \in (AC), Q \in (BC) \). Determinați lungimea laturii \( \displaystyle AC \), dacă \( \displaystyle AP = 7 \, \text{cm}, PQ = 6 \, \text{cm}, AB = 20 \, \text{cm} \).
84
Fie triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 12~\mathrm{cm}\), \(C_1\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(CC_1 \perp AB\) și \(m(\angle ACC_1) = 30^\circ\). Dacă \(M\) este mijlocul laturii \([BC]\), să se afle \(C_1M\).
85
O sferă cu raza de \( 6 \, \text{cm} \) se secționează cu un plan, la o distanță de \( 3 \, \text{cm} \) de la centrul ei. Aflați aria secțiunii.
86
Măsura unui unghi al unui romb este de două ori mai mare decât măsura altui unghi al rombului. Știind că diagonala mai mică a rombului are lungimea \(7~\mathrm{cm}\), să se afle perimetrul rombului.
87
Aria totală a unui cub este egală cu \(96~\mathrm{cm}^2\). Să se afle volumul cubului.
88
Fie \( ABC \) un triunghi isoscel, în care \( AB = BC = 6 \, \text{cm} \). Pe laturile \( AB \) și \( BC \) se consideră punctele \( M \) și, respectiv, \( N \), astfel încât \( MN \parallel AC, \, MN = 3 \, \text{cm}, \, BN = 2 \, \text{cm} \). Determinați aria trapezului \( AMNC \).
89
De câte ori aria pătratului circumscris unui cerc este mai mare decât aria pătratului înscris în același cerc?
90
Fie \(ABC\) un triunghi ascuțitunghic isoscel, în care \(AB = BC\) și înălțimea \(AK\) este de \(6 \, \text{cm}\). Determinați perimetrul triunghiului \(ABC\), dacă aria lui este egală cu \(30 \, \text{cm}^2\).
91
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Fie \(M\) mijlocul lui \([AB]\) şi \(N\) mijlocul lui \([BC]\). Dacă \(MN = 3\sqrt{2}~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
92
Baza unui paralelipiped dreptunghic cu diagonala de \( 12 \, \text{cm} \) este un pătrat cu latura de \( 3 \, \text{cm} \). Aflați volumul paralelipipedului dreptunghic.
93
Se consideră rombul \(ABCD\) care are perimetrul de \(40~\mathrm{cm}\), \(BD \cap AC = \{O\}\) şi \(BD + AC = 38~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOB\).