A02 - Derivata într-un punct şi derivabilitatea

Ideea lecţiei

Derivata este limita raportului incremental şi descrie viteza instantanee de variaţie a funcţiei.

Locul în manual: Modulul 1 - Funcţii derivabile. Recapitulare. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Derivata într-un punct este limita raportului dintre variaţia funcţiei şi variaţia argumentului.
  • Existenţa derivatelor laterale egale şi finite este echivalentă cu derivabilitatea într-un punct interior.

Reguli şi formule

  • \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).
  • Înainte de calculul limitei verifică dacă funcţia este definită într-o vecinătate potrivită a punctului.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(f(x)=4x^3-2x+3\).

Pasul 1. Aplicăm regula puterii: derivata lui 4x³ este 12x².

Pasul 2. Derivata lui -2x este -2, iar constanta dispare.

Răspuns final: \(f'(x)=12x^2-2\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Derivata într-un punct şi derivabilitatea”?
    Vezi răspunsul

    Derivata într-un punct este limita raportului dintre variaţia funcţiei şi variaţia argumentului.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Înainte de calculul limitei verifică dacă funcţia este definită într-o vecinătate potrivită a punctului.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Derivata într-un punct şi derivabilitatea”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Derivează \(f(x)=4x^3-2x+3\).
5
Calculează \(f'(2)\) pentru \(f(x)=x^2+3x\).
6
Derivează \(g(x)=(2x+1)^3\).

\((u^3)'=3u^2u'\)

7
Determină intervalele de creştere pentru \(f(x)=x^2-4x\).
8
Calculează a doua derivată a funcţiei \(f(x)=x^4\).
9
Explică de ce funcţia \(f(x)=|x|\) nu este derivabilă în 0.
10
Pentru \(f(x)=x^3\), calculează viteza instantanee de variaţie în \(x=2\).
Înapoi Următor