Ideea lecţiei
Valoarea medie sau speranţa matematică este suma valorilor posibile ponderate cu probabilităţile lor.
Locul în manual: Modulul 5 - Elemente de teoria probabilităţilor. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.
Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.
Noţiuni-cheie
- Valoarea medie a unei variabile aleatoare este o medie ponderată cu probabilităţi.
- Ea descrie rezultatul mediu pe termen lung, nu neapărat o valoare care apare efectiv.
Reguli şi formule
- \(E(X)=\sum x_i p_i\).
- Verifică mai întâi că probabilităţile însumează 1.
Metoda de lucru
- Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
- Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
- Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
- Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. O variabilă X ia valorile 0 şi 1 cu probabilităţi 0,7 şi 0,3. Verifică distribuţia.
Pasul 1. Probabilităţile sunt nenegative.
Pasul 2. 0,7+0,3=1.
Răspuns final: este validă
Greşeală frecventă
Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.
Verificare rapidă
- Care este ideea centrală a lecţiei „Valoarea medie a unei variabile aleatoare discrete”?
Vezi răspunsul
Valoarea medie a unei variabile aleatoare este o medie ponderată cu probabilităţi.
- Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
Vezi răspunsul
Verifică mai întâi că probabilităţile însumează 1.
- De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
Vezi răspunsul
Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.
Exerciții
1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Valoarea medie a unei variabile aleatoare discrete”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
O variabilă X ia valorile 0 şi 1 cu probabilităţi 0,7 şi 0,3. Verifică distribuţia.
5
Pentru distribuţia \(P(X=0)=0.7\), \(P(X=1)=0.3\), calculează \(E(X)\).
6
X ia valorile -1 şi 2 cu probabilităţi 1/2 şi 1/2. Calculează media.
7
Poate speranţa matematică să fie o valoare pe care X nu o ia?
8
Într-un tabel de distribuţie suma probabilităţilor este 0,9. Este valid?
9
La o aruncare de zar, X este numărul de puncte. Câte valori posibile are?
10
Pentru un zar echilibrat, care este \(E(X)\) al numărului de puncte?