A09 - Funcţia compusă, funcţia inversă şi derivate de ordin superior

Ideea lecţiei

Regula lanţului urmăreşte variaţia prin compuneri, iar derivatele de ordin superior descriu variaţia variaţiei.

Locul în manual: Modulul 1 - Funcţii derivabile. Recapitulare. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Pentru o funcţie compusă, derivăm funcţia exterioară şi înmulţim cu derivata celei interioare.
  • Derivatele de ordin superior se obţin derivând succesiv.

Reguli şi formule

  • \((g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)\).
  • Nu omite derivata expresiei interioare.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(f(x)=3x^3-3x+2\).

Pasul 1. Aplicăm regula puterii: derivata lui 3x³ este 9x².

Pasul 2. Derivata lui -3x este -3, iar constanta dispare.

Răspuns final: \(f'(x)=9x^2-3\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Funcţia compusă, funcţia inversă şi derivate de ordin superior”?
    Vezi răspunsul

    Pentru o funcţie compusă, derivăm funcţia exterioară şi înmulţim cu derivata celei interioare.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Nu omite derivata expresiei interioare.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Funcţia compusă, funcţia inversă şi derivate de ordin superior”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Derivează \(f(x)=3x^3-3x+2\).
5
Calculează \(f'(2)\) pentru \(f(x)=x^2+3x\).
6
Derivează \(g(x)=(2x+1)^3\).

\((u^3)'=3u^2u'\)

7
Determină intervalele de creştere pentru \(f(x)=x^2-4x\).
8
Calculează a doua derivată a funcţiei \(f(x)=x^4\).
9
Explică de ce funcţia \(f(x)=|x|\) nu este derivabilă în 0.
10
Pentru \(f(x)=x^3\), calculează viteza instantanee de variaţie în \(x=2\).
Înapoi Următor