A36 - Teorema de medie şi valoarea medie a unei funcţii

Ideea lecţiei

Valoarea medie pe [a,b] este 1/(b-a)·∫f şi, pentru funcţii continue, este atinsă într-un punct al intervalului.

Locul în manual: Modulul 3 - Integrale definite. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Valoarea medie a unei funcţii pe interval este integrala împărţită la lungimea intervalului.
  • Pentru funcţii continue, această valoare este egală cu f(c) pentru cel puţin un punct interior c.

Reguli şi formule

  • \(f_{med}=\displaystyle\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\).
  • Nu confunda valoarea medie a funcţiei cu media aritmetică a capetelor intervalului.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \(\int_0^2 x\,dx\).

Pasul 1. O primitivă este F=x²/2.

Pasul 2. F(2)-F(0)=4/2=2.

Răspuns final: \(2\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Teorema de medie şi valoarea medie a unei funcţii”?
    Vezi răspunsul

    Valoarea medie a unei funcţii pe interval este integrala împărţită la lungimea intervalului.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Nu confunda valoarea medie a funcţiei cu media aritmetică a capetelor intervalului.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Teorema de medie şi valoarea medie a unei funcţii”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Calculează \(\int_0^2 x\,dx\).
5
Calculează \(\int_1^3 2x\,dx\).
6
Calculează \(\int_0^\pi \sin x\,dx\).
7
Dacă \(\int_0^1 f(x)dx=3\), cât este \(\int_1^0 f(x)dx\)?
8
Dacă \(\int_0^1 f=2\) şi \(\int_1^3 f=5\), calculează \(\int_0^3 f\).
9
Calculează valoarea medie a lui \(f(x)=x\) pe [0,2].

\(f_{med}=\frac1{b-a}\int_a^b f\)

10
Fără calcul exact: dacă \(0\le f(x)\le2\) pe [0,3], între ce valori se află integrala?
Înapoi Următor