A08 - Reguli de derivare: sumă, produs şi raport

Ideea lecţiei

Regulile de derivare permit calcularea eficientă a derivatelor expresiilor construite din funcţii mai simple.

Locul în manual: Modulul 1 - Funcţii derivabile. Recapitulare. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Derivata sumei este suma derivatelor, iar pentru produs şi raport apar termeni suplimentari.
  • O constantă multiplicativă poate fi scoasă în faţa derivatei.

Reguli şi formule

  • \((fg)'=f'g+fg'\), \(\left(\displaystyle\frac fg\right)'=\displaystyle\frac{f'g-fg'}{g^2}\).
  • La raport verifică şi condiţia g(x)≠0.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(f(x)=2x^3-5x+1\).

Pasul 1. Aplicăm regula puterii: derivata lui 2x³ este 6x².

Pasul 2. Derivata lui -5x este -5, iar constanta dispare.

Răspuns final: \(f'(x)=6x^2-5\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Reguli de derivare: sumă, produs şi raport”?
    Vezi răspunsul

    Derivata sumei este suma derivatelor, iar pentru produs şi raport apar termeni suplimentari.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    La raport verifică şi condiţia g(x)≠0.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Reguli de derivare: sumă, produs şi raport”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Derivează \(f(x)=2x^3-5x+1\).
5
Calculează \(f'(2)\) pentru \(f(x)=x^2+3x\).
6
Derivează \(g(x)=(2x+1)^3\).

\((u^3)'=3u^2u'\)

7
Determină intervalele de creştere pentru \(f(x)=x^2-4x\).
8
Calculează a doua derivată a funcţiei \(f(x)=x^4\).
9
Explică de ce funcţia \(f(x)=|x|\) nu este derivabilă în 0.
10
Pentru \(f(x)=x^3\), calculează viteza instantanee de variaţie în \(x=2\).
Înapoi Următor