A25 - Integrarea prin părţi repetată şi verificarea rezultatului

Ideea lecţiei

Unele produse cer aplicarea repetată a integrării prin părţi; verificarea prin derivare rămâne testul final.

Locul în manual: Modulul 2 - Primitive şi integrale nedefinite. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Integrarea prin părţi este potrivită în special pentru produse în care derivarea simplifică unul dintre factori.
  • Alegerea lui u şi dv urmăreşte obţinerea unei integrale mai simple.

Reguli şi formule

  • \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
  • Dacă noua integrală este mai complicată decât cea iniţială, alegerea factorilor trebuie reconsiderată.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \(\int x^2\,dx\).

Pasul 1. Mărim exponentul la 3.

Pasul 2. Împărţim la noul exponent: x³/3.

Pasul 3. Adăugăm constanta C.

Răspuns final: \(\frac{x^3}{3}+C\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Integrarea prin părţi repetată şi verificarea rezultatului”?
    Vezi răspunsul

    Integrarea prin părţi este potrivită în special pentru produse în care derivarea simplifică unul dintre factori.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Dacă noua integrală este mai complicată decât cea iniţială, alegerea factorilor trebuie reconsiderată.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Integrarea prin părţi repetată şi verificarea rezultatului”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Calculează \(\int x^2\,dx\).
5
Calculează \(\int 3x^2\,dx\).
6
Calculează \(\int e^x\,dx\).
7
Calculează \(\int \cos x\,dx\).
8
Calculează \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\).

\(\int f'/f=\ln|f|+C\)

9
Calculează \(\int 2x(x^2+1)^3\,dx\).
10
Verifică prin derivare că \(F(x)=\frac{x^4}{4}\) este primitivă pentru \(f(x)=x^3\).
Înapoi Următor