A22 - Substituţia în expresii cu puteri şi radicali

Ideea lecţiei

În integralele cu puteri sau radicali, substituţia corectă urmăreşte „interiorul” expresiei compuse.

Locul în manual: Modulul 2 - Primitive şi integrale nedefinite. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • Substituţia urmăreşte o expresie interioară şi derivata ei.
  • După schimbarea variabilei, toată integrala trebuie exprimată în noua variabilă.

Reguli şi formule

  • Dacă \(u=g(x)\), atunci \(du=g'(x)dx\).
  • Nu amesteca x şi u în aceeaşi integrală după substituţie.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \(\int x^2\,dx\).

Pasul 1. Mărim exponentul la 3.

Pasul 2. Împărţim la noul exponent: x³/3.

Pasul 3. Adăugăm constanta C.

Răspuns final: \(\frac{x^3}{3}+C\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Substituţia în expresii cu puteri şi radicali”?
    Vezi răspunsul

    Substituţia urmăreşte o expresie interioară şi derivata ei.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Nu amesteca x şi u în aceeaşi integrală după substituţie.

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Substituţia în expresii cu puteri şi radicali”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Calculează \(\int x^2\,dx\).
5
Calculează \(\int 3x^2\,dx\).
6
Calculează \(\int e^x\,dx\).
7
Calculează \(\int \cos x\,dx\).
8
Calculează \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\).

\(\int f'/f=\ln|f|+C\)

9
Calculează \(\int 2x(x^2+1)^3\,dx\).
10
Verifică prin derivare că \(F(x)=\frac{x^4}{4}\) este primitivă pentru \(f(x)=x^3\).
Înapoi Următor