A48 - Volumul unui corp de rotaţie în jurul axei Ox

Ideea lecţiei

Rotirea subgraficului unei funcţii pozitive în jurul lui Ox produce un corp cu secţiuni circulare de arie πf(x)².

Locul în manual: Modulul 4 - Aplicaţii ale integralelor definite. În această versiune pentru platformă, tema este izolată într-o lecţie mai mică decât paragrafele dense ale manualului, astfel încât definiţia, formula şi metoda să poată fi înţelese separat.

Construim ideea de la intuiţie la formulă: întâi explicăm ce măsoară noţiunea, apoi ce condiţii trebuie verificate, iar abia după aceea calculăm.

Noţiuni-cheie

  • La rotaţia în jurul lui Ox, secţiunile perpendiculare pe axă sunt discuri sau coroane circulare.
  • Raza secţiunii se citeşte din valoarea funcţiei.

Reguli şi formule

  • \(V=\pi\int_a^b f(x)^2dx\).
  • Pentru şaibe: \(V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)dx\).

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Identifică exact mărimea cerută şi notează domeniul sau configuraţia.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula care răspunde întrebării, nu doar una care „seamănă”.
  3. Pasul 3. Înlocuieşte datele în paşi mici şi păstrează parantezele, semnele şi unităţile.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul prin derivare, estimare, probabilitate totală, unităţi sau geometrie, după caz.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Roteşte \(f(x)=1\) pe [0,3] în jurul lui Ox. Ce volum obţii?

Pasul 1. V=π∫_0³1²dx.

Pasul 2. V=π·3=3π.

Răspuns final: \(3\pi\)

Greşeală frecventă

Greşeala frecventă este să alegi formula după aspectul expresiei, fără să verifici domeniul, ipotezele şi sensul mărimilor. În clasa a XII-a, aceeaşi formulă poate fi corectă într-un context şi greşită în altul.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Volumul unui corp de rotaţie în jurul axei Ox”?
    Vezi răspunsul

    La rotaţia în jurul lui Ox, secţiunile perpendiculare pe axă sunt discuri sau coroane circulare.

  • Ce verifici înainte de aplicarea formulei?
    Vezi răspunsul

    Pentru şaibe: \(V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)dx\).

  • De ce nu este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Pentru că trebuie verificat că metoda este aplicabilă, iar rezultatul respectă domeniul, semnul şi unităţile problemei.

Exerciții

1
Explică în 1-2 propoziţii ideea principală a lecţiei „Volumul unui corp de rotaţie în jurul axei Ox”.
2
Ce condiţie sau verificare trebuie făcută înainte de aplicarea formulei principale?
3
De ce este utilă verificarea rezultatului după calcul?
4
Roteşte \(f(x)=1\) pe [0,3] în jurul lui Ox. Ce volum obţii?
5
Roteşte \(f(x)=x\) pe [0,1] în jurul lui Ox. Calculează volumul.
6
Ce reprezintă \(\pi f(x)^2\) în formula volumului?
7
Pentru o şaibă cu R=3 şi r=1, care este aria secţiunii?
8
Un cilindru de rază 2 şi înălţime 5 poate fi obţinut prin rotirea unei funcţii constante. Care funcţie?
9
Ce unitate are rezultatul unei formule de volum?
10
Dacă dublezi f într-o formulă de volum prin discuri, de câte ori se multiplică integrandul f²?
Înapoi Următor