1) Ecuații exponențiale \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)
O ecuație exponențială are necunoscuta în exponent, de exemplu:
\[
2^{x+1}=16,\quad 3^{2x-1}=9^x,\quad 5^x=7
\]
1) Aducere la aceeași bază
\[
2^{x+1}=16=2^4 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3
\]
\[
9^x=(3^2)^x=3^{2x}
\]
2) Logaritm (când nu poți unifica baza)
\[
5^x=7 \Rightarrow x=\log_5 7=\frac{\ln 7}{\ln 5}
\]
(logaritm/ln pe ambele părți)
3) Substituție (tip \(a^{2x}\), \(a^{x}\))
\[
2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0
\]
Notăm \(t=2^x>0\):
\[
t^2-5t+4=0 \Rightarrow t\in\{1,4\}
\]
\[
2^x=1 \Rightarrow x=0,\quad 2^x=4 \Rightarrow x=2
\]
4) Monotonie (fără calcule grele)
Dacă \(a>1\), funcția \(a^x\) e crescătoare ⇒
\[
a^{f(x)}=a^{g(x)} \Rightarrow f(x)=g(x)
\]
Dacă \(0<a<1\), e descrescătoare, dar tot rămâne:
\[
a^{f(x)}=a^{g(x)} \Rightarrow f(x)=g(x)
\]
(este injectivă în ambele cazuri).
2) Inecuații exponențiale \(a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}\)
Cheia este
monotonia în funcție de bază \(a\):
- dacă \(a>1\), atunci \(a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
- dacă \(0<a<1\), atunci sensul se inversează:
\(a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)<g(x)\)
Caz \(a>1\)
\[
3^{2x-1}\ge 3^{x+2}
\Rightarrow 2x-1\ge x+2
\Rightarrow x\ge 3
\]
Caz \(0<a<1\) (sens invers)
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3}
\Rightarrow x+1 \ge 2x-3
\Rightarrow x \le 4
\]
Truc rapid: dacă baza e fracție, ex. \(\frac12\), poți rescrie:
\[
\left(\frac12\right)^x = 2^{-x}
\]
și apoi lucrezi cu baza \(2>1\).