ALGEBRA.MD

1) Polinoame de o singură nedeterminantă

Un polinom în variabila \(x\) are forma: \[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad a_n\neq 0 \]

\(n\) = gradul polinomului
\(a_n\) = coeficientul principal
\(a_0\) = termenul liber

2) Adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor

Adunare / scădere

Se adună/scad coeficienții termenilor asemenea: \[ (2x^3-5x+1)+(x^3+2x-4)=3x^3-3x-3 \] \[ (x^2+3x-2)-(2x^2-x+5)=-x^2+4x-7 \]

Înmulțire

Distributivitate: fiecare termen cu fiecare termen: \[ (x+2)(x-3)=x^2-x-6 \] \[ (2x-1)(x^2+3)=2x^3-x^2+6x-3 \]

3) Descompunerea în factori a polinoamelor

Metode clasice

Metodă	Idee	Exemplu
Factor comun	se scoate același factor din toți termenii	\(3x^2-6x=3x(x-2)\)
Grupare	grupezi termenii ca să apară un factor comun	\(x^3+x^2+2x+2=(x+1)(x^2+2)\)
Formule	diferență de pătrate, sumă/diferență de cuburi etc.	\(x^2-9=(x-3)(x+3)\)
Cu rădăcini	dacă \(P(a)=0\) ⇒ \((x-a)\) este factor	\(P(2)=0 \Rightarrow (x-2)\) factor

Exemplu rapid: \(\;x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\).

4) Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest

Pentru polinoame \(P(x)\) și \(D(x)\neq 0\) există unic \(Q(x)\) și \(R(x)\) astfel încât: \[ P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x) \] unde fie \(R(x)=0\), fie \(\deg R < \deg D\).

Împărțire la \((x-a)\): restul este o constantă (număr real). (Se poate folosi schema lui Horner / împărțirea clasică.)

Exemplu: dacă \(P(x)=x^3-4x+3\) și împărțim la \((x-1)\), atunci: \[ P(x)=(x-1)(x^2+x-3)+0 \]

5) Teorema lui Bézout

Restul împărțirii lui \(P(x)\) la \((x-a)\) este: \[ R = P(a) \]

\((x-a)\) este factor al lui \(P(x)\) ⇔ \(P(a)=0\).

Exemplu: \(P(1)=0 \Rightarrow (x-1)\) este factor.

Tip: pentru coeficienți întregi, testezi adesea divizorii termenului liber (±1, ±2, ±3, …).

6) Noțiunea de rădăcină multiplă a polinomului

\(a\) este rădăcină de ordin \(m\) dacă: \[ P(x)=(x-a)^m\cdot Q(x),\quad Q(a)\neq 0 \]

Ordin 1: rădăcină simplă \((x-a)\)
Ordin 2: rădăcină dublă \((x-a)^2\)
Ordin 3: rădăcină triplă \((x-a)^3\)

(Dacă se folosește derivata) rădăcină dublă ⇔ \(P(a)=0\) și \(P'(a)=0\).

7) Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili

Un polinom se scrie ca produs de factori care nu se mai pot descompune (în domeniul considerat).

În \(\mathbb{R}\)

Factorii ireductibili sunt:

liniari \((x-a)\)
de grad 2 fără rădăcini reale: \(x^2+px+q\) cu \(\Delta<0\)

Exemplu: \[ x^4+1=(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1) \]

În \(\mathbb{Q}\) / \(\mathbb{Z}\)

Unele polinoame sunt ireductibile în raționale, dar se descompun în reale.

Exemplu: \[ x^2-5 \text{ este ireductibil în } \mathbb{Q},\quad x^2-5=(x-\sqrt5)(x+\sqrt5) \text{ în } \mathbb{R} \]

Polinoame — descompunere în factori