Funcția exponențială
1) Definiție
Funcția exponențială cu baza \(a\) este funcția:
\[
f:\mathbb{R}\to(0,\infty),\qquad f(x)=a^x
\]
Condiții pentru bază: \(a>0\) și \(a\neq 1\).
2) Domeniu și imagine
- Domeniu (DVA): \(D_f=\mathbb{R}\).
- Imagine: \(Im(f)=(0,\infty)\), deoarece \(a^x>0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
- Valoare importantă: \(a^0=1\), deci \(f(0)=1\).
3) Proprietăți ale puterilor
Pentru orice \(x,y\in\mathbb{R}\) și \(a>0\):
\[
a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}
\]
\[
\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
\]
\[
\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}
\]
\[
a^{-x}=\frac{1}{a^{x}},\qquad a^1=a
\]
4) Monotonie
- Dacă \(a>1\), atunci \(f(x)=a^x\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).
- Dacă \(0
5) Intersecții și semn
- Graficul trece prin punctul \((0,1)\).
- Funcția nu are zerouri (nu intersectează axa \(Ox\)), deoarece \(a^x>0\).
- Funcția este mereu pozitivă: \(a^x>0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).