Un poligon este o figură plană mărginită de o linie frântă închisă formată din segmente.
Punctele unde segmentele se întâlnesc se numesc vârfuri, iar segmentele se numesc laturi.
Un poligon cu \(n\) laturi se numește n-gon (triunghi \(n=3\), patrulater \(n=4\), pentagon \(n=5\), etc.).
Poligon = linie frântă închisă (laturi + vârfuri).
Elemente ale unui poligon laturi • vârfuri • diagonale
Elemente de bază
Vârfuri: punctele poligonului (de ex. \(A,B,C,\dots\))
Laturi: segmentele dintre vârfuri consecutive (ex. \(AB\), \(BC\), ...)
Diagonală: segmentul care unește două vârfuri neconsecutive
Perimetru: suma lungimilor tuturor laturilor
Numărul diagonalelor unui poligon cu \(n\) laturi:
\[
d=\frac{n(n-3)}{2}.
\]
De ce formula diagonalelor?
Dintr-un vârf poți trasa diagonale către \(n-3\) vârfuri (nu către el însuși și nici către vecinii lui).
Total \(n(n-3)\), dar fiecare diagonală se numără de două ori ⇒ împărțim la 2.
Verificare rapidă:
triunghi \(n=3\): \(d=0\)
patrulater \(n=4\): \(d=2\)
pentagon \(n=5\): \(d=5\)
Unghiuri în poligoane interior • exterior
Suma unghiurilor interioare ale unui poligon cu \(n\) laturi:
\[
S_{int}=(n-2)\cdot 180^\circ.
\]
Dacă poligonul este regulat (toate unghiurile interioare egale), atunci:
\[
\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}
\]
unde \(\alpha\) este unghiul interior.
Unghiul exterior (la fiecare vârf, pentru poligon regulat):
\[
\beta=\frac{360^\circ}{n}
\]
Iar suma unghiurilor exterioare (pentru un poligon convex) este \(360^\circ\).