1) Numere raționale, iraționale, reale pe scurt
Număr rațional = se poate scrie ca fracție \(\frac{p}{q}\), unde \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq 0\).
Exemple: \(\frac{3}{4},\ -2=\frac{-2}{1},\ 0{,}125=\frac{1}{8},\ 0{,}(3)=\frac{1}{3}\)
Număr irațional = nu se poate scrie ca \(\frac{p}{q}\). Zecimal infinit neperiodic.
Exemple: \(\sqrt{2},\ \pi,\ \sqrt{5}\)
Numere reale \(\mathbb{R}\) = raționale + iraționale.
Relație: \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)
Reguli
- Zecimal finit sau periodic ⇒ rațional.
- \(\sqrt{n}\) e irațional dacă \(n\) nu e pătrat perfect.
Mini-check (cu răspuns)
| Număr | Tip | Motiv |
|---|
| \(0{,}72\) | rațional | zecimal finit |
| \(0{,}\overline{12}\) | rațional | zecimal periodic |
| \(\sqrt{49}\) | rațional | \(\sqrt{49}=7\) |
| \(\sqrt{3}\) | irațional | 3 nu e pătrat perfect |
Tip: dacă nu ești sigur, încearcă să vezi dacă poți scrie numărul ca \(\frac{p}{q}\).
2) Proprietăți ale operațiilor cu numere reale
Adunarea \((+)\)
| Proprietate | Formulă |
|---|
| Comutativă | \(a+b=b+a\) |
| Asociativă | \((a+b)+c=a+(b+c)\) |
| Element neutru | \(a+0=a\) |
| Element opus | \(a+(-a)=0\) |
Înmulțirea \((\cdot)\)
| Proprietate | Formulă |
|---|
| Comutativă | \(ab=ba\) |
| Asociativă | \((ab)c=a(bc)\) |
| Element neutru | \(a\cdot 1=a\) |
| Invers (dacă \(a\neq 0\)) | \(a\cdot \frac{1}{a}=1\) |
| Distributivă | \(a(b+c)=ab+ac\) |
Atenție: Împărțirea nu este comutativă / asociativă în general. Exemplu:
\(\frac{6}{2}\neq \frac{2}{6}\).