1) Noțiunea de inecuație trigonometrică definiție
O inecuație trigonometrică este o inecuație în care apare cel puțin una dintre funcțiile
\(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\), iar necunoscuta este un unghi \(x\).
Exemple:
\[
\sin x \ge \frac12,\quad \cos x < 0,\quad \tan x \le 1
\]
Primul pas este mereu: verifică domeniul (mai ales la \(\tan\) și \(\cot\)):
\[
\tan x \text{ există dacă } x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad
\cot x \text{ există dacă } x\neq k\pi.
\]
2) Principiul de rezolvare cerc trigonometric
Metoda standard:
- scrii pragul: ex. \(\sin x \ge a\)
- determini unghiurile de frontieră (unde există egalitatea), ex. \(\sin x=a\)
- pe cerc/traseu, alegi arcele unde funcția are semnul/valoarea cerută
- scrii soluția generală folosind perioda (\(2\pi\) la \(\sin,\cos\); \(\pi\) la \(\tan,\cot\))
Observație importantă: \(\sin x\) și \(\cos x\) au valori doar în \([-1,1]\).
Dacă apare \( \sin x \ge 1.2\) sau \(\cos x \le -1.5\) → nu are soluții.
3) Inecuații fundamentale cu \(\sin x\)
\[
-1\le \sin x \le 1
\]
Când ai \(\sin x \ge a\) sau \(\sin x \le a\), condiția de existență este \(\boxed{a\in[-1,1]}\).
Pentru \(\sin x \ge a\) (\(a\in[-1,1]\)), notăm \(\alpha=\arcsin a\) (\(\alpha\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)).
Soluțiile:
\[
x\in[\alpha+2k\pi,\ \pi-\alpha+2k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
Pentru \(\sin x \le a\) (\(a\in[-1,1]\)):
\[
x\in[\pi-\alpha+2k\pi,\ 2\pi+\alpha+2k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
Exemplu: \(\sin x \ge \frac12\)
\(\alpha=\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\).
\[
x\in\left[\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\right]
\]
Exemplu: \(\sin x < 0\)
\(\sin x<0\) în cadranele III și IV:
\[
x\in(\pi+2k\pi,\ 2\pi+2k\pi)
\]
4) Inecuații fundamentale cu \(\cos x\)
\[
-1\le \cos x \le 1
\]
Pentru \(\cos x \ge a\) / \(\le a\) avem \(\boxed{a\in[-1,1]}\).
Pentru \(\cos x \ge a\) (\(a\in[-1,1]\)), notăm \(\beta=\arccos a\) (\(\beta\in[0,\pi]\)).
Soluțiile:
\[
x\in[-\beta+2k\pi,\ \beta+2k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
(intervalul se poate scrie și ca \([2k\pi-\beta,\,2k\pi+\beta]\))
Pentru \(\cos x \le a\) (\(a\in[-1,1]\)):
\[
x\in[\beta+2k\pi,\ 2\pi-\beta+2k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
Exemplu: \(\cos x \le 0\)
\(\cos x\le 0\) în cadranele II și III:
\[
x\in\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]
\]
Exemplu: \(\cos x > \frac12\)
\(\beta=\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}\).
\[
x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ \frac{\pi}{3}+2k\pi\right)
\]
(strict „>” → interval deschis)
5) Inecuații fundamentale cu \(\tan x\)
Domeniu: \(\tan x\) există dacă \(\boxed{x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi}\).
Perioadă: \(\boxed{\pi}\).
Pentru \(\tan x \ge a\), notăm \(\gamma=\arctan a\) (\(\gamma\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)).
Pe fiecare interval \(\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)\), \(\tan x\) este strict crescătoare.
\[
\tan x \ge a \ \Longleftrightarrow\ x\in[\gamma+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}
\]
\[
\tan x \le a \ \Longleftrightarrow\ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \gamma+k\pi\right],\quad k\in\mathbb{Z}
\]
Exemplu: \(\tan x \ge 0\)
\[
x\in[0+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi)\Rightarrow x\in[k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi)
\]
(mai poți scrie și \(x\in[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)\cup[\pi+k\pi,\frac{3\pi}{2}+k\pi)\) pe perioadă \(2\pi\))
6) Inecuații fundamentale cu \(\cot x\)
Domeniu: \(\cot x\) există dacă \(\boxed{x\neq k\pi}\).
Perioadă: \(\boxed{\pi}\).
Pentru \(\cot x \ge a\), folosim \(\delta=\operatorname{arccot} a\) (cu \(\delta\in(0,\pi)\)).
Pe fiecare interval \((k\pi,(k+1)\pi)\), \(\cot x\) este strict descrescătoare.
\[
\cot x \ge a \ \Longleftrightarrow\ x\in(k\pi,\ \delta+k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}
\]
\[
\cot x \le a \ \Longleftrightarrow\ x\in[\delta+k\pi,\ (k+1)\pi),\quad k\in\mathbb{Z}
\]
Truc: \(\cot x \ge a \Longleftrightarrow \tan x \le \frac{1}{a}\) (dacă \(a>0\)) — dar ai grijă la semne.
Cel mai sigur: lucrezi pe intervalul \((k\pi,(k+1)\pi)\).
7) Selectarea soluțiilor pe interval ex. \([0,2\pi)\)
Dacă ai soluția generală în funcție de \(k\), alegi valorile lui \(k\) care pun \(x\) în intervalul cerut.
Exemplu: \(\sin x \ge \frac12\) pe \([0,2\pi)\)
\[
x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]
\]
(doar \(k=0\) este relevant în \([0,2\pi)\)).