0) Ideea generală soluții generale
O ecuație trigonometrică are soluții periodice. De aceea, răspunsul apare aproape mereu cu:
\[
x = x_0 + 2k\pi \quad \text{sau} \quad x = x_0 + k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}
\]
Pași recomandati:
- adu ecuația la o formă standard
- verifică domeniul (unde sunt definite tg/ctg etc.)
- rezolvă și scrie soluția generală
- dacă se cere pe un interval, selectează doar valorile din acel interval
1) Funcții trigonometrice inverse \(\arcsin,\arccos,\arctan,\operatorname{arccot}\)
Funcțiile inverse întorc un unghi principal (într-un interval fix).
| Funcție |
Domeniu (intrare) |
Imagine (ieșire) |
Observație |
| \(\arcsin a\) |
\(a\in[-1,1]\) |
\(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) |
\(\sin(\arcsin a)=a\) |
| \(\arccos a\) |
\(a\in[-1,1]\) |
\([0,\pi]\) |
\(\cos(\arccos a)=a\) |
| \(\arctan a\) |
\(a\in\mathbb{R}\) |
\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) |
\(\tan(\arctan a)=a\) |
| \(\operatorname{arccot} a\) |
\(a\in\mathbb{R}\) |
\((0,\pi)\) |
\(\cot(\operatorname{arccot} a)=a\) |
Atenție: \(\arcsin\) și \(\arccos\) există doar dacă \(a\in[-1,1]\). Dacă \(|a|>1\) ⇒ nu are soluții.
2) Ecuația \(\sin x=a\) condiție \(|a|\le 1\)
Dacă \(|a|\le 1\), notăm \(\alpha=\arcsin a\) (cu \(\alpha\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)).
Atunci soluțiile sunt:
\[
x=\alpha+2k\pi \quad \text{sau} \quad x=\pi-\alpha+2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}
\]
Exemplu
\[
\sin x=\frac{1}{2}
\]
\(\alpha=\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\).
\[
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{sau} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\]
Caz fără soluții
\[
\sin x = 1.3
\]
Nu există, deoarece \(\sin x\in[-1,1]\).
3) Ecuația \(\cos x=a\) condiție \(|a|\le 1\)
Dacă \(|a|\le 1\), notăm \(\alpha=\arccos a\) (cu \(\alpha\in[0,\pi]\)).
Atunci:
\[
x=\pm \alpha + 2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}
\]
adică
\[
x=\alpha+2k\pi \quad \text{sau} \quad x=-\alpha+2k\pi.
\]
Exemplu:
\[
\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}
\]
\[
x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi.
\]
4) Ecuația \(\tan x=a\) periodă \(\pi\)
\(\tan x\) este definită pentru \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) și are imaginea \(\mathbb{R}\).
Notăm \(\alpha=\arctan a\) (cu \(\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)).
Soluția generală:
\[
x=\alpha+k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}
\]
Exemplu:
\[
\tan x=\sqrt3 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi.
\]
5) Ecuația \(\cot x=a\) periodă \(\pi\)
\(\cot x\) este definită pentru \(x\neq k\pi\) și are imaginea \(\mathbb{R}\).
Dacă \(\alpha=\operatorname{arccot} a\) (cu \(\alpha\in(0,\pi)\)), atunci:
\[
x=\alpha+k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}
\]
Truc: \(\cot x = a \Longleftrightarrow \tan x = \frac{1}{a}\) (dacă \(a\neq 0\)).
Pentru \(a=0\): \(\cot x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
6) Ecuații trigonometrice omogene raport \(\tan\)
O ecuație este omogenă (în \(\sin x\) și \(\cos x\)) dacă toate termenele au același grad, de ex.:
\[
a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0
\]
Dacă \(\cos x\neq 0\), împarți la \(\cos^2 x\) și notezi \(t=\tan x\):
\[
a\tan^2 x + b\tan x + c = 0
\]
Rezolvi în \(t\), apoi:
\[
\tan x=t \Rightarrow x=\arctan t + k\pi
\]
Nu uita cazul \(\cos x=0\) (adică \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)). Îl verifici separat în ecuația inițială.
Exemplu:
\[
\sin^2 x-\sin x\cos x-\cos^2 x=0
\]
Împărțim la \(\cos^2 x\) (\(\cos x\neq 0\)):
\[
\tan^2 x-\tan x-1=0
\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}
\]
\[
x=\arctan\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)+k\pi
\]
7) Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu selectarea soluțiilor pe interval
Dacă ai soluția generală (cu \(k\in\mathbb{Z}\)) și se cere pe un interval, ex. \([0,2\pi)\),
alegi valorile lui \(k\) care pun \(x\) în interval.
Exemplu:
\[
\sin x=\frac{1}{2}
\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \text{sau}\ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\]
Pe \([0,2\pi)\): doar \(k=0\) funcționează:
\[
x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}
\]