Asemănarea triunghiurilor

1) Ce înseamnă „triunghiuri asemenea”? similaritate

Două triunghiuri \(\triangle ABC\) și \(\triangle A'B'C'\) sunt asemenea dacă:
  • au unghiurile corespunzătoare egale: \(\angle A=\angle A'\), \(\angle B=\angle B'\), \(\angle C=\angle C'\)
  • și laturile corespunzătoare proporționale: \[ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k \]
Numărul \(k\) se numește raport de asemănare.
Consecințe utile:
  • Perimetrele sunt în raport \(k\).
  • Ariile sunt în raport \(k^2\).

Raportul de asemănare

Dacă \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\), atunci: \[ k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'} \] Dacă \(k>1\) ⇒ primul triunghi e „mai mare”.
Dacă \(0<k<1\) ⇒ primul triunghi e „mai mic”.
Notare: \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).

2) Criterii de asemănare a triunghiurilor

CriteriuCe trebuie să fie adevăratIdee
UUU (unghi–unghi–unghi) două (sau trei) unghiuri corespunzătoare egale dacă 2 unghiuri sunt egale, al treilea e automat egal (suma 180°)
LLL (laturi proporționale) \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}\) raport constant pentru toate laturile
LUL (laturi proporționale + unghi cuprins egal) \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}\) și \(\angle A=\angle A'\) unghiul este între cele 2 laturi comparate
Atenție: la LUL pentru asemănare, ai nevoie de proporție între laturi, nu egalitate.

3) Teorema lui Thales (în triunghi)

În \(\triangle ABC\), dacă \(D \in AB\) și \(E \in AC\) și \(DE \parallel BC\), atunci: \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC} \] și, echivalent: \[ \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} \]
Ideea principală: o paralelă la o latură „taie” celelalte două laturi în același raport. De aici rezultă și că \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\).

Înapoi Următor