1) Formule pentru funcțiile trigonometrice ale sumei și diferenței
Sinus:
\[
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
\]
Cosinus:
\[
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
\]
Tangentă: (unde există)
\[
\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}
\]
Condiții: \(1\mp\tan\alpha\tan\beta\neq 0\) și \(\cos\alpha\cos\beta\neq 0\).
Exemplu rapid
\[
\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)
=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}
\]
\[
=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}
=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1
\]
2) Formulele de reducere simetrii
Reducerea folosește unghiuri speciale: \(\pi-x,\ \pi+x,\ 2\pi-x,\ 2\pi+x,\ \frac{\pi}{2}\pm x\).
Ideea: aduci la \(\sin x\) sau \(\cos x\) cu semn corect.
| Formulă |
Rezultat |
Observație |
| \(\sin(\pi-x)\) |
\(\sin x\) |
sinus „păstrează” la \(\pi-x\) |
| \(\sin(\pi+x)\) |
\(-\sin x\) |
schimbă semnul |
| \(\cos(\pi-x)\) |
\(-\cos x\) |
cos devine negativ |
| \(\cos(\pi+x)\) |
\(-\cos x\) |
tot negativ |
| \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) |
\(\cos x\) |
cofuncții |
| \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) |
\(\sin x\) |
cofuncții |
| \(\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) |
\(\cot x\) |
cofuncții |
3) Formule pentru funcțiile trigonometrice ale multiplilor unui unghi
Cele mai folosite sunt pentru dublu și triplu unghi.
(Pentru \(nx\) cu \(n>3\) se folosesc de obicei recurențe sau formule de produs-sumă.)
Triplu unghi
\[
\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x
\]
\[
\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x
\]
\[
\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3 x}{1-3\tan^2 x}
\]
Ultima are condiții de existență (numitor \(\neq 0\)).
Exemplu (folosind \(\cos 3x\))
Dacă \(c=\cos x\), atunci:
\[
\cos(3x)=4c^3-3c
\]
Util când vrei să transformi \(\cos(3x)\) într-un polinom în \(\cos x\).
4) Formule pentru unghi dublu și jumătate de unghi
Unghi dublu:
\[
\sin(2x)=2\sin x\cos x
\]
\[
\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x
\]
\[
\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\]
Jumătate de unghi:
\[
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos x}{2},\qquad
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cos x}{2}
\]
Deci:
\[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\quad
\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
\]
Semnul \(\pm\) se alege după cadran (unde se află \(\frac{x}{2}\)).
5) Formulele substituției universale Weierstrass
Substituția universală (Weierstrass) folosește:
\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
\]
și transformă \(\sin x,\cos x,\tan x\) în expresii raționale în \(t\).
\[
\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad
\tan x=\frac{2t}{1-t^2}
\]
\[
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt
\]
Observații:
- Este super utilă la integrale sau ecuații unde apar \(\sin x\) și \(\cos x\) amestecate.
- Ai grijă la cazurile când \(1-t^2=0\) (pentru \(\tan x\)).
- De obicei, \(x\in(-\pi,\pi)\) acoperă bine conversia (dar se poate extinde cu atenție).
6) Exemple & exerciții (cu răspuns)
Exemple de transformări
Ex. 1: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\)
\[
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\]
\[
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\]
Adunând:
\[
\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta
\]
Ex. 2: \(\sin(2x)\) în funcție de \(\tan x\)
\[
\sin(2x)=2\sin x\cos x= \]
\[=2\left(\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 x}}\right)
=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}
\]
(presupunând \(\cos x\neq 0\)).