Funcția logaritmică

1) Funcția logaritmică \(\log_a x\)

Pentru baza \(a\in\mathbb{R}\) cu \(a>0\) și \(a\neq 1\), funcția logaritmică este: \[ f(x)=\log_a x \] Domeniu: \(x>0\).
Imagine: \(\mathbb{R}\).

Interpretare

\[ y=\log_a x \ \Longleftrightarrow\ a^y=x \] Logaritmul răspunde la întrebarea: „la ce putere trebuie ridicat \(a\) ca să obțin \(x\)?”

Valori importante

\[ \log_a 1=0,\qquad \log_a a=1 \] \[ \log_a (a^x)=x,\quad a^{\log_a x}=x \ (x>0) \]

2) Proprietăți esențiale

Proprietate Formula Condiții
Produs \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\) \(x>0,\ y>0\)
Raport \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\) \(x>0,\ y>0\)
Putere \(\log_a(x^k)=k\log_a x\) \(x>0\)
Schimbarea bazei \(\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\) \(x>0,\ a>0,\ a\neq 1\)

Monotonie (foarte important)

  • dacă \(a>1\), \(\log_a x\) este crescătoare pe \((0,\infty)\)
  • dacă \(0<a<1\), \(\log_a x\) este descrescătoare pe \((0,\infty)\)

Legătura cu exponențiala

\[ y=\log_a x \Longleftrightarrow x=a^y \] Funcțiile \(a^x\) și \(\log_a x\) sunt inverse (pe domeniile lor).

Înapoi Următor