Logică matematică & Teoria mulțimilor

1) Noțiunea de propoziție recapitulare & completări

Propoziție (logică) = un enunț care poate fi adevărat (A) sau fals (F).
Exemple: „2 este număr par” (A), „7 < 3” (F).
Nu sunt propoziții (în sens logic):
întrebări („Cât este 2+2?”), comenzi („Închide ușa!”), enunțuri incomplete.
Propoziții cu variabile: „\(x>0\)” devine propoziție doar după ce fixezi \(x\) (de ex. \(x=2\)).
Astfel de enunțuri se numesc adesea propoziții deschise.

Mini-tabel adevăr (pentru „și” / „sau”)

pq\(p\land q\)\(p\lor q\)
AAAA
AFFA
FAFA
FFFF
Tip: „și” cere ambele adevărate; „sau” e adevărat dacă măcar una e adevărată.

2) Deducție (raționament logic)

Deducție = raționamentul logic prin care din propoziții generale se obțin propoziții particulare.

Exemplu

1) Toți elevii din clasa a XII-a au BAC anul acesta. (general)
2) Ana este elevă în clasa a XII-a. (particular)
Concluzie: Ana are BAC anul acesta. (particular)

Model

Dacă \(p\Rightarrow q\) și \(p\) este adevărat, atunci \(q\) este adevărat.
Atenție: din \(p\Rightarrow q\) și „q adevărat” nu rezultă obligatoriu „p adevărat”.

3) Inducția matematică metodă

Inducția matematică este o metodă de demonstrație pentru propoziții \(P(n)\), valabile pentru toate \(n \ge n_0\).

Pașii metodei

  1. Baza: arăți că \(P(n_0)\) este adevărată.
  2. Ipoteza: presupui \(P(k)\) adevărată pentru un \(k\ge n_0\).
  3. Pasul: demonstrezi că din \(P(k)\) rezultă \(P(k+1)\).
Dacă baza e corectă și pasul e corect, atunci \(P(n)\) e adevărată pentru toate \(n\ge n_0\).

Exemplu

Demonstrează: \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), pentru \(n\ge 1\).
  • Bază: \(n=1\): \(1=\frac{1\cdot2}{2}\) ✓
  • Ipoteză: \(1+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\)
  • Pas: \(1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\) ✓
Greșeală frecventă: să demonstrezi iar \(P(k)\) în loc de \(P(k+1)\).

4) Teoria mulțimilor: noțiuni de bază

Mulțime & apartenență

Element: \(x\in A\) (x aparține), \(x\notin A\). Mulțimi: \(A,B,C\).
Exemplu: \(A=\{1,2,3\}\). Atunci \(2\in A\), \(5\notin A\).

Submulțimi & mulțimi egale

\(A\subseteq B\) dacă orice element din \(A\) este și în \(B\).
\(A=B \iff A\subseteq B\) și \(B\subseteq A\).
Ordinea nu contează: \(\{1,2\}=\{2,1\}\).

5) Operații cu mulțimi (fără complement)

OperațieSimbolDefinițieExemplu
Reuniune \(A\cup B\) elemente care sunt în A sau în B \(\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}\)
Intersecție \(A\cap B\) elemente comune (în A și în B) \(\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}\)
Diferență \(A\setminus B\) elemente în A, dar nu în B \(\{1,2\}\setminus\{2,3\}=\{1\}\)
Diagramă Venn (schematic):
U (univers)
A
B
Reuniunea = tot ce e în A sau B; Intersecția = zona comună.

Mini-calculator (mulțimi finite)

Elemente separate prin virgulă. Ex: 1,2,3

Rezultat: —

6) Produs cartezian \(A\times B\)

\[ A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\} \] Ordinea contează: \((a,b)\neq(b,a)\) în general.

Exemplu

Dacă \(A=\{1,2\}\) și \(B=\{x,y\}\), atunci:
\(A\times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}\)

Cardinal

Dacă \(A\) și \(B\) sunt finite, atunci: \[ |A\times B|=|A|\cdot |B| \]

7) Proprietăți ale operațiilor cu mulțimi (fără complement/De Morgan)

Pentru reuniune și intersecție

ProprietateFormulă
Comutativă\(A\cup B=B\cup A\), \(\ A\cap B=B\cap A\)
Asociativă\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)
Asociativă\((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\)
Idempotentă\(A\cup A=A\), \(\ A\cap A=A\)
Absorbție\(A\cup(A\cap B)=A\), \(\ A\cap(A\cup B)=A\)

Distributivitate

Formulă
\(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
Distributivitatea este foarte utilă la transformări/algebră cu mulțimi.

Înapoi Următor