1) Funcția de gradul I liniară
O funcție de gradul I are forma:
\[
f(x)=ax+b,\quad a\neq 0
\]
- \(a\) — panta (coeficient director)
- \(b\) — ordonata la origine (intersecția cu axa \(Oy\))
Graficul
Graficul lui \(y=ax+b\) este o
dreaptă.
Două puncte rapide:
- pentru \(x=0\): \(y=b\) ⇒ punctul \((0,b)\)
- pentru \(y=0\): \(ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}\) ⇒ punctul \(\left(-\frac{b}{a},0\right)\)
Monotonie
- dacă \(a>0\) ⇒ funcția este crescătoare
- dacă \(a<0\) ⇒ funcția este descrescătoare
Exemplu: \(f(x)=2x-3\) crește; \(g(x)=-x+5\) descrește.
2) Ecuații de gradul I
O ecuație de gradul I (în \(x\)) are forma:
\[
ax+b=0,\quad a\neq 0
\]
Soluția:
\[
x=-\frac{b}{a}
\]
Ecuații echivalente
Ai voie să:
- aduni/scazi același număr în ambele părți
- înmulțești/împarți ambele părți cu același număr nenul
(nu schimbi soluțiile).
Exemplu
\[
3x-7=2x+5 \Rightarrow x-7=5 \Rightarrow x=12
\]
3) Inecuații de gradul I
Forme tipice:
\[
ax+b>0,\quad ax+b\ge 0,\quad ax+b<0,\quad ax+b\le 0
\]
Regulă importantă: dacă înmulțești/împarți inecuația cu un număr negativ,
atunci se inversează semnul (\(>\leftrightarrow<\), \(\ge \leftrightarrow \le\)).
Exemplu 1 (coeficient pozitiv)
\[
2x-6\ge 0 \Rightarrow 2x\ge 6 \Rightarrow x\ge 3
\]
Mulțimea soluțiilor: \([3,\infty)\).
Exemplu 2 (coeficient negativ)
\[
-3x+9>0 \Rightarrow -3x>-9 \Rightarrow x<3
\]
(s-a inversat semnul la împărțirea cu \(-3\)).
Mulțimea soluțiilor: \((-\infty,3)\).