1) Monoame definiție
Un
monom este un produs de forma:
\[
a \cdot x^m \cdot y^n \cdot \ldots
\]
unde:
- \(a\) este un număr real (coeficient)
- exponenții \(m,n,\ldots\) sunt numere naturale (de obicei \(\ge 0\))
Exemple: \(5x^2\), \(-3xy^3\), \(\frac12 a^2b\), \(7\) (constantă).
Gradul monomului: suma exponenților (ex: \(-3xy^3\) are grad \(1+3=4\)).
Termeni asemenea
Două monoame sunt asemenea dacă au aceeași parte literală (aceleași variabile cu aceiași exponenți).
Exemplu: \(2x^3y\) și \(-5x^3y\) sunt asemenea, dar \(2x^3y\) și \(2x^2y\) NU sunt.
Reducerea termenilor asemenea:
\(2x^3y - 5x^3y = (2-5)x^3y = -3x^3y\).
2) Operații cu monoame
Înmulțirea monoamelor
\[
(a x^m)(b x^n)=ab \cdot x^{m+n}
\]
General: înmulțești coeficienții și aduni exponenții variabilelor identice.
Exemplu: \((3x^2y)(-2xy^3) = -6x^{3}y^{4}\).
Împărțirea monoamelor (când se poate)
\[
\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}\cdot x^{m-n}\quad (b\neq 0)
\]
Ai nevoie de \(m\ge n\) dacă vrei să rămâi cu exponent natural.
Exemplu: \(\frac{6x^5y^2}{3x^2y}=2x^3y\).
Adunarea / scăderea monoamelor
Se pot aduna/scădea doar monoame asemenea:
\[
ax^m + bx^m = (a+b)x^m
\]
Exemplu: \(7x^2 - 3x^2 = 4x^2\).
Ridicarea la putere
\[
(a x^m y^n)^k = a^k \cdot x^{mk}\cdot y^{nk}
\]
Exemplu: \(( -2x^3y )^2 = 4x^6y^2\).
3) Polinoame definiție
Un polinom este o sumă finită de monoame:
\[
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
\]
Gradul polinomului = cel mai mare exponent cu coeficient nenul.
Exemplu: \(P(x)=2x^4-7x+1\) are grad \(4\).
4) Operații cu polinoame
Suma și diferența
Regulă: aduni/scazi coeficienții termenilor asemenea.
Exemplu:
\[
(2x^3-5x+1)+(x^3+2x-4)=3x^3-3x-3
\]
Reducerea termenilor asemenea
Se grupează termeni cu aceeași parte literală.
Exemplu:
\(
3x^2+2x-7 + 5x^2 - 4x + 1
= (3x^2+5x^2) +\)
\(+(2x-4x) + (-7+1)
= 8x^2-2x-6\)
Produsul a două polinoame
Regulă: fiecare termen din primul polinom se înmulțește cu fiecare termen din al doilea, apoi se reduc termenii asemenea.
Exemplu:
\[
(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6
\]
Ridicarea la putere (ex. pătrat)
Exemplu:
\[
(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+6x+9
\]
(poți folosi și formulele de calcul prescurtat, când le înveți).
5) Proprietăți ale adunării și înmulțirii polinoamelor
Adunarea polinoamelor
| Proprietate | Formulă |
|---|
| Comutativitate | \(P+Q=Q+P\) |
| Asociativitate | \((P+Q)+R=P+(Q+R)\) |
| Element neutru | \(P+0=P\) |
| Element opus | \(P+(-P)=0\) |
Înmulțirea polinoamelor
| Proprietate | Formulă |
|---|
| Comutativitate | \(P\cdot Q=Q\cdot P\) |
| Asociativitate | \((P\cdot Q)\cdot R=P\cdot (Q\cdot R)\) |
| Element neutru | \(P\cdot 1=P\) |
| Distributivitate | \(P(Q+R)=PQ+PR\) |
| Produs cu zero | \(P\cdot 0=0\) |