Logaritmi

1) Noțiunea de logaritm definiție

Pentru \(a>0\), \(a\neq 1\) și \(b>0\), logaritmul lui \(b\) în baza \(a\) este numărul \(x\) astfel încât: \[ \log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x=b \]
Condiții (domeniu):
• baza: \(a>0\), \(a\neq 1\)
• argument: \(b>0\)
Exemple:
\(\log_2 8=3\) (pentru că \(2^3=8\))
\(\log_{10} 100=2\) (pentru că \(10^2=100\))

Calculator \(\log_a(b)\)

Calculează numeric folosind schimbarea bazei.

Rezultat: —

2) Identitatea logaritmică fundamentală

Din definiție rezultă imediat: \[ a^{\log_a b}=b \quad (a>0,\ a\neq 1,\ b>0) \] și, invers: \[ \log_a(a^x)=x \quad (a>0,\ a\neq 1) \]
Exemple:
\(2^{\log_2 7}=7\)
\(\log_3(3^{-2})=-2\)
Atenție: \(\log_a b\) există doar dacă \(b>0\). De aceea, \(\log_a(a^x)=x\) se scrie cu baza \(a>0,\ a\neq 1\).

3) Proprietățile logaritmilor

Pentru \(a>0,\ a\neq 1\) și \(x>0,\ y>0\):
ProprietateFormulăObservație
Logaritmul produsului \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\) argumente pozitive
Logaritmul raportului \(\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\) \(y\neq 0\) și \(x,y>0\)
Logaritmul puterii \(\log_a(x^k)=k\log_a x\) \(x>0\), \(k\in\mathbb{R}\)
Valori speciale \(\log_a 1=0\), \(\ \log_a a=1\) \(a>0,\ a\neq 1\)
Schimbarea bazei \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) \(c>0,\ c\neq 1\)
Atenție: \(\log_a(x+y)\neq \log_a x+\log_a y\) în general.
Observație utilă:
Dacă \(0<a<1\), atunci funcția \(\log_a x\) este descrescătoare; dacă \(a>1\), este crescătoare.

Înapoi Următor