Radicali

1) Noțiunea de radical definiție

Pentru \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\), radicalul de ordin \(n\) din \(a\) este numărul: \[ \sqrt[n]{a} \] astfel încât \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a\).
Condiții de existență (în \(\mathbb{R}\)):
• dacă \(n\) este par ⇒ trebuie \(a\ge 0\).
• dacă \(n\) este impar ⇒ \(a\) poate fi orice număr real.
Exemple:
\(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt[3]{-8}=-2\), dar \(\sqrt{-4}\) nu este real.

Calculator (radical)

Calculează \(\sqrt[n]{a}\) (aproximativ) și verifică domeniul.

Rezultat: —

2) Proprietăți ale radicalilor

Pentru \(a,b\ge 0\) și \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\), avem (în condiții de existență):
ProprietateFormulăObservație
Produs \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) valabilă în special pentru \(a,b\ge 0\) (dacă \(n\) e par)
Raport \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(b\neq 0\) ai grijă la condiții
Putere \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a\) pentru \(n\) par, \(a\ge 0\)
Radical din putere \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) (n par), \(\ \sqrt[n]{a^n}=a\) (n impar) modulul apare doar la ordin par
Exponenți raționali \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\), \(\ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) util în simplificări
Atenție: \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\) în general. Exemplu: \(\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\neq 1+2=3\).

3) Transformări ale expresiilor iraționale

Scoaterea factorului de sub radical

Dacă \(a=b^2\cdot c\) (cu \(c\ge 0\)), atunci: \[ \sqrt{a}=\sqrt{b^2c}=|b|\sqrt{c} \]
Exemple:
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\)
Pentru rădăcină pătrată: \(\sqrt{b^2}=|b|\) (nu uita modulul).

Introducerea factorului sub radical

Pentru \(k\ge 0\): \[ k\sqrt{a}=\sqrt{k^2a} \]
Exemple:
\(3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}\)
\(2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot7}=\sqrt{28}\)

Reducerea radicalilor la același ordin (idee utilă)

\[ \sqrt[m]{a}=\sqrt[mk]{a^k} \] (poți aduce radicalii la același ordin pentru a putea combina expresii)
Exemplu: \(\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}\), iar \(\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}\).

4) Raționalizarea numitorului unui raport algebric

Scop: să eliminăm radicalul din numitor (să obținem numitor rațional).

Caz 1: numitor de forma \(\sqrt{a}\)

\[ \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} \]
Exemplu: \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\).

Caz 2: numitor de forma \(a+\sqrt{b}\) sau \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Se folosește conjugatul: \[ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b \] \[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b \]
Exemplu 1: \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3} \] Exemplu 2: \[ \frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} =\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}=\sqrt{7}-\sqrt{2} \]
Tip: la numitor cu „+” între radicali, înmulțești cu aceeași expresie, dar cu „−” (conjugatul).

Înapoi Următor