Funcții. Proprietăți

1) Noțiunea de funcție definiție

O funcție \(f\) este o regulă care asociază fiecărui element \(x\) dintr-o mulțime \(D\) (numită domeniu) un singur element \(y\) dintr-o mulțime \(E\): \[ f: D \to E,\quad y=f(x) \]
Termeni:
  • \(D\) — domeniul de definiție
  • \(E\) — codomeniul
  • \(\mathrm{Im}\,f\) — mulțimea valorilor (imaginea): \(\mathrm{Im}\,f=\{f(x)\mid x\in D\}\)

Exemplu rapid

Dacă \(f(x)=\sqrt{x-1}\), atunci:
• condiția: \(x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1\)
• domeniul: \(D=[1,\infty)\)
• imaginea: \(\mathrm{Im}\,f=[0,\infty)\)
Domeniu Codomeniu Imagine

2) Moduri de a defini o funcție

Modul sintetic (prin regulă / corespondență)

Se spune direct cum se obține \(y\) din \(x\).

Exemple:
  • \(f(x)=2x-3\)
  • \(g(x)=|x|\)
  • \(h(x)=\dfrac{1}{x}\), cu \(x\neq 0\)

Modul analitic (prin formulă / relație)

Funcția este dată printr-o expresie și condiții de existență (domeniu).

Exemple:
  • \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\), \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
  • \(g(x)=\sqrt{2-x}\), \(D=(-\infty,2]\)
În practică, de fiecare dată când ai o formulă, scrie și domeniul (valorile pentru care formula are sens).

3) Operații cu funcții

Dacă \(f, g: D \to \mathbb{R}\), atunci: \[ (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f-g)(x)=f(x)-g(x) \] \[ (fg)(x)=f(x)\cdot g(x),\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ (g(x)\neq 0) \]
Domeniul rezultat = intersecția domeniilor și, la împărțire, mai scoți valorile unde \(g(x)=0\).
Exemplu: \(f(x)=\sqrt{x}\) (D=\([0,\infty)\)), \(g(x)=x-1\) (D=\(\mathbb{R}\))
\((f+g)(x)=\sqrt{x}+x-1\) are domeniu \(D=[0,\infty)\).

4) Proprietăți fundamentale ale funcției

ProprietateCe înseamnăSemn / condiție
Domeniu unde are sens funcția \(D_f\)
Imagine valorile pe care le poate lua funcția \(\mathrm{Im}\,f\)
Semn unde \(f(x)>0\), \(f(x)=0\), \(f(x)<0\) se studiază cu tabel de semne / grafic
Monotonie crește / descrește pe intervale vezi secțiunea 7
Paritate funcție pară / impară vezi secțiunea 8
Periodicitate se repetă la un pas \(T\) vezi secțiunea 9

5) Graficul funcției

Graficul lui \(f\) este mulțimea punctelor: \[ G_f=\{(x,f(x))\mid x\in D\} \]

Cum se construiește:

1) stabilești domeniul \(D\)
2) alegi câteva valori pentru \(x\) și calculezi \(f(x)\)
3) pui punctele \((x,f(x))\) și unești „logic” (după tipul funcției)

6) Zeroul funcției

Un număr \(x_0\in D\) este zero al funcției dacă: \[ f(x_0)=0 \]
Interpretare grafică: zerourile sunt punctele unde graficul taie axa \(Ox\) (axa x).
Pentru \(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\):
• zerouri: soluțiile lui \(P(x)=0\) (cu condiția să fie în domeniu)
• domeniu: \(Q(x)\neq 0\)

7) Monotonia funcției

Crescătoare / descrescătoare

Crescătoare pe un interval \(I\) dacă pentru orice \(x_1<x_2\) din \(I\): \[ f(x_1)\le f(x_2) \] Strict crescătoare: \(f(x_1)<f(x_2)\).

Descrescătoare: \(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)\).

Exemple rapide

• \(f(x)=2x+1\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).
• \(g(x)=-3x\) este strict descrescătoare pe \(\mathbb{R}\).
• \(h(x)=x^2\) descrește pe \((-\infty,0]\) și crește pe \([0,\infty)\).

8) Paritatea funcției

Funcție pară

Domeniul trebuie să fie simetric față de 0, iar: \[ f(-x)=f(x) \] Grafic: simetrie față de axa \(Oy\).

Exemplu: \(f(x)=x^2\), \(f(x)=|x|\).

Funcție impară

Domeniul simetric față de 0 și: \[ f(-x)=-f(x) \] Grafic: simetrie față de origine.

Exemplu: \(g(x)=x^3\), \(g(x)=\frac{1}{x}\).

9) Periodicitatea funcției

Funcția \(f\) este periodică cu perioada \(T>0\) dacă: \[ f(x+T)=f(x)\ \text{ pentru orice } x \text{ (unde are sens)} \]
Exemple: \(\sin x\) și \(\cos x\) au perioada \(2\pi\).
\(\tan x\) are perioada \(\pi\).

10) Inversa unei funcții. Funcții inversabile

Funcția \(f: D\to E\) este inversabilă dacă este bijectivă (injectivă și surjectivă).
Atunci există \(f^{-1}:\mathrm{Im}\,f \to D\) astfel încât: \[ f^{-1}(f(x))=x,\quad \text{pentru } x\in D \]

Condiție practică (foarte folosită)

Dacă \(f\) este strict monotonă pe domeniu, atunci este injectivă și are inversă pe imagine.
Pentru \(f(x)=x^2\) pe \(\mathbb{R}\) nu e inversabilă, dar pe \([0,\infty)\) devine inversabilă (inversă: \(\sqrt{x}\)).

Cum găsești inversa (metodă)

1) Scrii \(y=f(x)\)
2) Schimbi rolurile: \(x \leftrightarrow y\)
3) Rezolvi pentru \(y\)

Exemplu: \[ y=2x-3 \Rightarrow x=\frac{y+3}{2} \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2} \]
Grafic: graficele lui \(f\) și \(f^{-1}\) sunt simetrice față de dreapta \(y=x\).

Înapoi Următor