Sisteme și totalități de ecuații de gradul I

Sisteme de ecuații de gradul I & Totalități de ecuații de gradul I

În această lecție înveți: ce este un sistem de ecuații liniare, când are o soluție / infinit de soluții / nicio soluție și cum rezolvi rapid prin substituție și eliminare. Apoi vezi ideea de totalitate (familie) de ecuații cu parametri.

1) Sistem de ecuații de gradul I (linear)

Un sistem de ecuații de gradul I cu două necunoscute \((x,y)\) are forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]

2) Metode de rezolvare

2.1 Metoda substituției

Ideea: izolezi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.
Când e comodă? Când una dintre ecuații permite ușor \(x=\dots\) sau \(y=\dots\) (coeficient 1 sau -1).
  1. Dintr-o ecuație scoți \(x\) sau \(y\).
  2. Înlocuiești în cealaltă ecuație.
  3. Rezolvi ecuația cu o necunoscută.
  4. Revii și găsești cealaltă necunoscută.
  5. Verifici (opțional, dar bun la examen).

2.2 Metoda eliminării (reducere / adunare-scădere)

Ideea: faci coeficienții unei necunoscute opuși (sau egali) și aduni/scazi ecuațiile ca să elimini acea necunoscută.
Când e comodă? Când coeficienții sunt deja opuși sau devin ușor opuși prin înmulțire cu numere mici.
  1. Alegi necunoscuta pe care vrei s-o elimini (de obicei cea cu coeficienți mici).
  2. Înmulțești ecuațiile (dacă e nevoie) ca să obții coeficienți opuși.
  3. Aduni/scazi ecuațiile → obții o ecuație cu o necunoscută.
  4. Rezolvi, apoi înlocuiești pentru a afla cealaltă necunoscută.

2.3 Metoda grafică (idee)

Reprezinți fiecare ecuație ca dreaptă și citești soluția la intersecție. Este utilă pentru înțelegere, dar la calcule exacte e mai lentă decât substituția/eliminarea.

3) Totalități de ecuații de gradul I

3.1 Definiție

Două totalități de inecuații cu o necunoscută se numesc echivalente dacă mulțimile soluțiilor lor sunt egale, indiferent de DVA. Totalitățile fără soluții sunt echivalente între ele.

3.2 Totalități de inecuații cu o necunoscută

Dacă cerem valorile lui \(x\) care verifică cel puțin una dintre inecuații, obținem o totalitate:
\[ \left[ \begin{array}{l} A(x)<0\\ B(x)<0 \end{array} \right. \]
Mulțimea soluțiilor totalității este reuniunea soluțiilor inecuațiilor componente.

3.3 Totalitatea de două ecuații de gradul I

Forma unei totalități de două ecuații de gradul I:
\[ \left[ \begin{array}{l} a_1x+b_1=0\\ a_2x+b_2=0 \end{array} \right. \]
Exemplu:
\[ (3x+1)(x-5)=0 \]
Rezultă totalitatea:
\[ \left[ \begin{array}{l} 3x+1=0\\ x-5=0 \end{array} \right. \]
Soluții: \(x=-\frac13\) sau \(x=5\).
\[ S=\left\{-\frac13,\;5\right\} \]

3.4 Totalități de ecuații

Dacă cerem valorile lui \(x\) care verifică cel puțin una dintre ecuațiile \(E_1(x)=0, E_2(x)=0\), avem totalitatea:
\[ \left[ \begin{array}{l} E_1(x)=0\\ E_2(x)=0 \end{array} \right. \]
Exemplu:
\[ x^2(x-1)(x+2)=0 \]
Rezultă totalitatea:
\[ \left[ \begin{array}{l} x^2=0\\ x-1=0\\ x+2=0 \end{array} \right. \]
Soluții: \(x=0,\;x=1,\;x=-2\).
\[ S=\{-2,\;0,\;1\} \]

3.5 Transformări uzuale (în DVA)

Dacă \(E_1(x)\cdot E_2(x)\cdot\ldots\cdot E_n(x)=0\), atunci:
\[ \left[ \begin{array}{l} E_1(x)=0\\ E_2(x)=0\\ \vdots\\ E_n(x)=0 \end{array} \right. \]
Dacă \((E_1(x))^2=(E_2(x))^2\), atunci:
\[ \left[ \begin{array}{l} E_1(x)=E_2(x)\\ E_1(x)=-E_2(x) \end{array} \right. \]

Înapoi Următor