Sisteme și totalități de ecuații de gradul II

Definiții

• Un polinom \(P(X,Y,\dots)\) este omogen de gradul \(n\) dacă pentru orice \(\lambda\in\mathbb{R}^*\): \(\;P(\lambda x,\lambda y,\dots)=\lambda^n P(x,y,\dots)\).
• Ecuația \(P(x,y,\dots)=0\) se numește ecuație omogenă (de grad \(n\)), dacă \(P\) e omogen de grad \(n\).
• Un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute se numește sistem omogen de gradul \(n\) dacă în ambii membri stângi apar polinoame omogene de gradul \(n\) (coeficienții sunt reali, iar în general \(a_0\neq 0\), \(b_0\neq 0\)).

Exemplu rezolvat — sistem omogen de gradul II

1. DVA: \((x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).
2. Înmulțim prima ecuație cu 2 și adunăm cu a doua: \[ 2(x^2+4xy-y^2)+(x^2-3xy)=-4+4\;\Rightarrow\;3x^2+5xy-2y^2=0 \] Deci obținem un sistem echivalent care conține o ecuație omogenă: \[ \begin{cases} 3x^2+5xy-2y^2=0\\ x^2-3xy=4 \end{cases} \]
3. Observăm că \(x\neq 0\) (dacă \(x=0\), din \(x^2-3xy=4\) ar rezulta \(0=4\), imposibil).
4. Împărțim ecuația omogenă la \(x^2\) și notăm \(t=\dfrac{y}{x}\): \[ 3+5t-2t^2=0 \;\Rightarrow\; 2t^2-5t-3=0 \;\Rightarrow\; t\in\left\{3,\,-\frac12\right\} \]
5. Revenim la totalitatea de sisteme: \[ \text{(I) }\begin{cases} y=3x\\ x^2-3x(3x)=4\end{cases} \qquad \text{(II) }\begin{cases} y=-\frac12x\\ x^2-3x\left(-\frac12x\right)=4\end{cases} \] Sistemul (I) nu are soluții, iar sistemul (II) dă: \[ \frac52x^2=4\Rightarrow x^2=\frac{8}{5}=1.6 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac85} \] \[ y=-\frac12x \]

Definiții

• O ecuație în \(x,y\) este simetrică dacă, înlocuind \(x\leftrightarrow y\), ecuația nu se modifică.
• Un sistem format din ecuații simetrice se numește sistem de ecuații simetrice.

Exemplu rezolvat — sistem simetric

1. Notăm \(u=x+y\), \(v=xy\).
2. Din prima: \(x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy=u^2-3v=-2\).
3. Din a doua: \(u+2v=1\).
4. Obținem sistemul: \[ \begin{cases} u^2-3v=-2\\ u+2v=1 \end{cases} \] Înlocuim \(u=1-2v\) în prima: \[ (1-2v)^2-3v+2=0 \Rightarrow 4v^2-7v+3=0 \Rightarrow v\in\left\{1,\frac34\right\} \] Atunci \(u=1-2v\Rightarrow u\in\{-1,-\frac12\}.\)
5. Revenim la totalitatea de sisteme: \[ \text{(I)}\begin{cases}x+y=-1\\ xy=1\end{cases} \qquad \text{(II)}\begin{cases}x+y=-\frac12\\ xy=\frac34\end{cases} \] Ambele sunt incompatibile în \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) (discriminant negativ).