1) Notări
Considerăm \(\triangle ABC\)
dreptunghic în \(A\) (\(\angle A=90^\circ\)).
Ipotenuză: \(BC\).
Catete: \(AB, AC\).
Notăm:
- \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\) (ipotenuza)
- \(AH=h\) — înălțimea pe ipotenuză, cu \(H \in BC\)
- \(BH=p\), \(HC=q\) — proiecțiile catetelor pe ipotenuză
Relație de bază: \(p+q=a\).
2) Relații metrice în triunghiul dreptunghic cateta • înălțimea
Teorema catetei
Cateta la pătrat = ipotenuza × proiecția catetei pe ipotenuză:
\[
AB^2 = BC \cdot BH \quad \Rightarrow \quad c^2 = a\cdot p
\]
\[
AC^2 = BC \cdot HC \quad \Rightarrow \quad b^2 = a\cdot q
\]
Teorema înălțimii
Înălțimea la pătrat = produsul proiecțiilor pe ipotenuză:
\[
AH^2 = BH \cdot HC \quad \Rightarrow \quad h^2 = p\cdot q
\]
Util și sub formă:
\[
h=\sqrt{pq}
\]
Consecință (arie): Aria triunghiului dreptunghic:
\[
A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AH}{2}
\]
adică \(\; \frac{bc}{2}=\frac{a h}{2}\Rightarrow bc=ah\).
3) Teorema lui Pitagora
În \(\triangle ABC\) dreptunghic în \(A\):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
adică:
\[
c^2 + b^2 = a^2
\]
Reciproca: Dacă într-un triunghi \(c^2+b^2=a^2\), atunci triunghiul este dreptunghic (ipotenuza este latura \(a\)).
4) Teorema sinusurilor
ÃŽn orice triunghi \(\triangle ABC\):
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
unde \(R\) este raza cercului circumscris.
Aplicare rapidă: dacă știi două unghiuri și o latură, poți afla celelalte laturi.
5) Teorema cosinusului
ÃŽn orice triunghi \(\triangle ABC\):
\[
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
\]
\[
b^2=a^2+c^2-2ac\cos B
\]
\[
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
\]
Observație: dacă \(A=90^\circ\), \(\cos A=0\) ⇒ se obține Pitagora.