Funcția de gradul II. Ecuații de gradul II. Inecuații de gradul II

1) Funcția de gradul II parabolă

\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0 \] Grafic: parabolă.

Vârful parabolei

\[ x_V=-\frac{b}{2a},\qquad y_V=f(x_V) \] Axa de simetrie: \(\;x=x_V\).
Dacă \(a>0\) parabola este „deschisă în sus”; dacă \(a<0\), „în jos”.

2) Ecuații de gradul II

Forma standard: \[ ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0 \] Discriminant: \[ \Delta=b^2-4ac \]

Cazuri după \(\Delta\)

\(\Delta\)Număr de rădăcini realeFormula
\(\Delta>0\)2 rădăcini distincte\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta=0\)1 rădăcină dublă\(x=-\dfrac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\)0 rădăcini reale(nu are soluții în \(\mathbb{R}\))

Exemplu

\[ x^2-5x+6=0 \] \[ \Delta=25-24=1 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2} \Rightarrow x_1=2,\ x_2=3 \]
Legătură cu graficul: rădăcinile sunt punctele unde parabola taie axa \(Ox\).

3) Inecuații de gradul II

Tip: \(ax^2+bx+c \; \gtrless \; 0\). Metodă standard:
  1. rezolvi ecuația \(ax^2+bx+c=0\) (dacă are rădăcini reale)
  2. faci tabel de semne / folosești forma parabolei (semnul lui \(a\))

Caz tipic: două rădăcini \(x_1<x_2\)

Dacă \(a>0\): expresia este pozitivă în afara intervalului \([x_1,x_2]\) și negativă în interior.

Dacă \(a<0\): invers.

Exemplu

Rezolvă: \(x^2-5x+6\ge 0\).

Rădăcini: \(2\) și \(3\), iar \(a=1>0\).
\[ x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty) \]
Dacă \(\Delta<0\), atunci \(ax^2+bx+c\) are semn constant (același cu \(a\)) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Înapoi Următor