Funcția radical. Proporționalitate inversă

1) Funcția radical \( \sqrt{\ \ }\)

Funcția radical (cea mai folosită) este: \[ f(x)=\sqrt{x} \] Domeniu: \(D=[0,\infty)\), Imagine: \(\mathrm{Im}\,f=[0,\infty)\).

Forma generală

\[ f(x)=\sqrt{g(x)} \] Condiție obligatorie: \[ g(x)\ge 0 \]

Exemplu de domeniu

\[ f(x)=\sqrt{2x-6}\Rightarrow 2x-6\ge 0 \Rightarrow x\ge 3 \] Domeniu: \([3,\infty)\).
x y \((0,0)\) \(y=\sqrt{x}\)
Schiță: \(y=\sqrt{x}\) (definită doar pentru \(x\ge 0\)).

2) Proprietățile principale ale funcției radical

ProprietateAfirmațieObservație
Domeniu \(\sqrt{g(x)}\) există ⇔ \(g(x)\ge 0\) primul pas la orice problemă
Valori \(\sqrt{g(x)}\ge 0\) radicalul principal e nenegativ
Monotonie \(\sqrt{x}\) este crescătoare pe \([0,\infty)\) \(x_1<x_2\Rightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}\)
Inversă inversa lui \(\sqrt{x}\) este \(x^2\) pe \([0,\infty)\) bijectivă pe \([0,\infty)\)
Atenție: la ridicare la pătrat pot apărea soluții false ⇒ verifică în ecuația/inecuația inițială.

3) Proporționalitatea inversă

Două mărimi \(x\) și \(y\) sunt invers proporționale dacă: \[ y=\frac{k}{x},\quad k\neq 0 \] Echivalent: \(\;x\cdot y=k\).

Proprietăți

  • dacă \(x\) creÈ™te, \(y\) scade (È™i invers)
  • domeniu: \(x\neq 0\)
  • graficul este o hiperbolă (două ramuri)

Exemplu

Dacă \(y=\frac{12}{x}\) și \(x=3\), atunci \(y=4\).
Produsul rămâne constant: \(3\cdot 4=12\).

Înapoi Următor