1) Ce este o fracție algebrică?
O fracție algebrică are forma:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}
\]
unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar \(Q(x)\neq 0\).
Exemple:
\[
\frac{x+1}{x-3},\quad \frac{2x^2-1}{x^2+4x+4},\quad \frac{3}{x}
\]
Definiție: D.V.A.
Domeniul valorilor admisibile = toate valorile lui \(x\) pentru care numitorul nu devine 0.
Practic: rezolvi \(Q(x)=0\) și excluzi soluțiile.
Exemplu: \(\frac{x+1}{x-3}\) ⇒ \(x-3\neq 0\Rightarrow x\neq 3\).
2) Domeniul valorilor admisibile (D.V.A.)
Pași
1) Identifici numitorul \(Q(x)\).
2) Impui condiția \(Q(x)\neq 0\).
3) Rezolvi ecuația \(Q(x)=0\).
4) Excluzi soluțiile din domeniu.
Exemplu
\[
\frac{2x+1}{x^2-9}
\]
D.V.A.: \(x^2-9\neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3)\neq 0\Rightarrow x\neq 3,\;x\neq -3\).
Atenție: Chiar dacă simplifici o fracție și „dispare” un factor din numitor, valorile care anulează numitorul rămân interzise.
3) Simplificarea și amplificarea fracțiilor
Simplificare
Poți simplifica doar factori comuni ai numărătorului și numitorului:
\[
\frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+5}{x-1},\quad \text{dar } x\neq 2,1
\]
Nu simplifici termeni adunați:
\[
\frac{x+2}{x+5}\neq \frac{2}{5}
\]
Amplificare
Amplificarea înseamnă înmulțirea numărătorului și numitorului cu același polinom nenul:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)\cdot R(x)}{Q(x)\cdot R(x)},\quad R(x)\neq 0
\]
Exemplu:
\[
\frac{x}{x-1}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}
\]
4) Operații cu fracții algebrice
Adunare / scădere
Aducem la același numitor (de obicei C.M.M.M.C.):
\[
\frac{a}{m}\pm \frac{b}{n}=\frac{an\pm bm}{mn}
\]
Exemplu:
\[
\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}
=\frac{(x+1)+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}
=\frac{3x-1}{x^2-1}
\]
D.V.A. pentru exemplu: \(x\neq 1\), \(x\neq -1\).
Înmulțire
\[
\frac{P}{Q}\cdot \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}
\]
Exemplu:
\[
\frac{x^2-4}{x}\cdot \frac{x}{x+2}
=\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot \frac{x}{x+2}
=x-2
\]
D.V.A. (din expresia inițială): \(x\neq 0\), \(x\neq -2\).
Împărțire
Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa:
\[
\frac{P}{Q}:\frac{R}{S}=\frac{P}{Q}\cdot \frac{S}{R},\quad R\neq 0
\]
Exemplu:
\[
\frac{x}{x-3}:\frac{x+1}{2}
=\frac{x}{x-3}\cdot \frac{2}{x+1}
=\frac{2x}{(x-3)(x+1)}
\]
D.V.A.: \(x\neq 3\), \(x\neq -1\) și \(\;x+1\neq 0\) (deja inclus).
Reducerea finală
După orice operație:
- factorizezi dacă se poate (numărător și numitor)
- simplifici factori comuni
- scrii D.V.A. corect (valorile interzise din expresia inițială)
5) Ridicarea la putere
Putere pozitivă
\[
\left(\frac{P}{Q}\right)^n=\frac{P^n}{Q^n},\quad n\in \mathbb{N},\ Q\neq 0
\]
Exemplu:
\[
\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2=\frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}
\]
Putere negativă
\[
\left(\frac{P}{Q}\right)^{-n}=\left(\frac{Q}{P}\right)^{n}
\]
cu condiția \(P\neq 0\) și \(Q\neq 0\).
Exemplu:
\[
\left(\frac{x}{x-1}\right)^{-2}=\left(\frac{x-1}{x}\right)^2
\]