Puterea cu exponent real

1) Puterea cu exponent întreg \(n\in\mathbb{Z}\)

Pentru \(a\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}\):
\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{ori}} \] \[ a^0=1\ (a\neq 0),\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ (a\neq 0) \]
Exemple:
\(2^5=32\), \(\ 5^0=1\), \(\ 3^{-2}=\frac{1}{9}\).
Atenție: \(0^0\) nu este definit (în programa de liceu se evită).

Calculator \(a^x\)

Funcționează pentru \(a>0\) (ca să putem calcula și exponenți reali).

Rezultat: —

2) Puterea cu exponent rațional \(\frac{m}{n}\)

Pentru \(a>0\), \(m\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\): \[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \] În special: \[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
Exemple:
\(16^{1/2}=\sqrt{16}=4\)
\(8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
\(27^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}\)
În lecția „putere cu exponent rațional” se lucrează de obicei cu bază pozitivă \(a>0\), ca să fie clar definit.

3) Proprietăți ale puterilor (pentru exponenți raționali / reali)

Pentru \(a>0\), \(b>0\) și \(x,y\in\mathbb{R}\) (sau raționali), proprietățile sunt:
ProprietateFormulăCondiții
Produs (aceeași bază) \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\) \(a>0\)
Raport (aceeași bază) \(\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\) \(a>0\)
Putere la putere \((a^x)^y=a^{xy}\) \(a>0\)
Produs la putere \((ab)^x=a^x b^x\) \(a>0,\ b>0\)
Raport la putere \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}\) \(a>0,\ b>0\)
Exponent negativ \(a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}\) \(a>0\)
Atenție: \((a+b)^x\neq a^x+b^x\) în general.

4) Putere cu exponent irațional \(x\notin\mathbb{Q}\)

Pentru \(a>0\) și \(x\) irațional, \(a^x\) se definește ca limită a unor puteri cu exponent rațional care se apropie de \(x\). (idee: aproximăm \(x\) prin numere raționale)
Exemplu (idee):
Dacă \(x=\sqrt{2}\), alegem o succesiune de raționale \(r_1, r_2, \dots\) cu \(r_n\to \sqrt{2}\).
Atunci \(a^{\sqrt{2}}\) este limita lui \(a^{r_n}\) (pentru \(a>0\)).
De ce cerem \(a>0\)?
Pentru baze negative, \(a^x\) nu mai este definit pentru toți exponenții reali (apar valori nedefinite în \(\mathbb{R}\)).

5) Puterea cu exponent real a unui număr pozitiv \(a>0,\ x\in\mathbb{R}\)

Definiție (pe scurt)

Pentru \(a>0\) și \(x\in\mathbb{R}\), puterea \(a^x\) este bine definită și respectă proprietățile din secțiunea 3.
Cazuri importante:
• \(a^0=1\)
• dacă \(a=1\), atunci \(1^x=1\) pentru orice \(x\)
• dacă \(0<a<1\), atunci \(a^x\) scade când \(x\) crește (intuție)

Exemple rapide

\(9^{1/2}=3\)
\(4^{-3/2}=\dfrac{1}{4^{3/2}}=\dfrac{1}{(\sqrt{4})^3}=\dfrac{1}{8}\)
\(2^{\sqrt{2}}\) este un număr real (baza e pozitivă).
Pentru calcule numerice la exponenți iraționali se folosesc aproximări (calculator).

Înapoi Următor