Ecuații/Inecuații ce conțin necunoscuta în modul
Ecuații cu o necunoscută ce conțin necunoscuta în modul
Vom folosi mai multe metode. În fiecare metodă, DVA (domeniul) este, de obicei, \(\mathbb{R}\),
dar atenție dacă apar fracții/radicali/logaritmi.
1.Aplicarea definiției modulului
\[
|A|=B \ (B\ge 0)\ \Longleftrightarrow\
\begin{cases}
A=B\\
A=-B
\end{cases}
\]
Echivalent și ca sistem pe cazuri (după semnul lui \(A\)).
Exemplu
\[
|x-2|=5 \Longleftrightarrow
\begin{cases}
x-2=5\\
x-2=-5
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x=7\\
x=-3
\end{cases}
\]
\[
S=\{-3,\,7\}
\]
2.Relația \(|f(x)|=|g(x)|\Rightarrow f^2(x)=g^2(x)\)
După ce rezolvi ecuația obținută, verifică soluțiile în ecuația inițială (pentru siguranță).
Exemplu
\[
|x+3|=|2x-1|
\Longleftrightarrow (x+3)^2=(2x-1)^2
\Longleftrightarrow 3x^2-10x-8=0
\]
\[
x\in\left\{-\frac{2}{3},\,4\right\},\quad
S=\left\{-\frac{2}{3},\,4\right\}
\]
3.Relația \(|f(x)|=|g(x)|\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\) sau \(f(x)=-g(x)\)
Exemplu
\[
|x^2-x|=|4+2x|
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x^2-x=4+2x\\
x^2-x=-4-2x
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x^2-3x-4=0\\
x^2+x+4=0
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x\in\{-1,\,4\}\\
\text{(a doua nu are soluții reale)}
\end{cases}
\]
\[
S=\{-1,\,4\}
\]
4.Utilizarea necunoscutei auxiliare
Când apare \(|x|\) și \(x^2\), e foarte util faptul că \(\;x^2=|x|^2\).
Poți pune \(t=|x|\), cu \(t\ge 0\).
Exemplu
\[
2x^2-|x|-1=0,\quad \text{DVA: } x\in\mathbb{R}
\]
\[
t=|x|\ge 0,\quad x^2=|x|^2=t^2
\Rightarrow 2t^2-t-1=0
\]
\[
t\in\left\{1,\,-\frac12\right\}\Rightarrow t=1
\Rightarrow |x|=1\Rightarrow x=\pm 1
\]
\[
S=\{-1,\,1\}
\]
5.Aplicarea metodei explicitării modulelor (cazuri pe intervale)
Algoritm :
- Stabilești DVA.
- Găsești zerourile expresiilor din module (punctele unde se schimbă semnul).
- Aceste puncte împart axa în intervale.
- Pe fiecare interval înlocuiești \(|A|\) cu \(A\) sau \(-A\), în funcție de semnul lui \(A\).
- Rezolvi ecuația pe fiecare interval și păstrezi doar soluțiile care aparțin intervalului respectiv.
Exemplu
\[
|2x-1|-3|x+3|=2x
\]
- DVA: \(x\in\mathbb{R}\).
- Zerouri: \(2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\), respectiv \(x+3=0\Rightarrow x=-3\).
- Intervale: \((-\infty,-3),\ [-3,\frac12),\ [\frac12,\infty)\).
- Se rezolvă pe fiecare interval și se verifică apartenența.
\[
S=\left\{-\frac{8}{7}\right\}
\]
3) Inecuații de gradul II ce conțin necunoscuta în modul
1.Inecuția de tipul \(|f(x)|\le g(x)\)
\[
|f(x)|\le g(x)\ \Longleftrightarrow\
\begin{cases}
f(x)\ge -g(x)\\
f(x)\le g(x)
\end{cases}
\quad\text{(în DVA)}
\]
Exemplu
\[
|3x^2-5|\le 4
\Longleftrightarrow -4\le 3x^2-5\le 4
\Longleftrightarrow 1\le 3x^2\le 9
\]
\[
\frac{1}{3}\le x^2\le 3
\Longleftrightarrow
x\in\left[-\sqrt3,\,-\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3},\,\sqrt3\right]
\]
2.Inecuția de tipul \(|f(x)|\ge g(x)\)
\[
|f(x)|\ge g(x)\ \Longleftrightarrow\
\begin{cases}
f(x)\ge g(x)\\
f(x)\le -g(x)
\end{cases}
\quad\text{(în DVA)}
\]
Exemplu
\[
|2-x^2|\ge 3
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
2-x^2\ge 3\\
2-x^2\le -3
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x^2\le -1\\
x^2\ge 5
\end{cases}
\]
\[
x\in(-\infty,-\sqrt5]\cup[\sqrt5,\infty)
\]
3.Utilizarea necunoscutei auxiliare
Dacă apare \(|x-a|\) împreună cu \((x-a)^2\), pune \(t=|x-a|\), \(t\ge 0\),
și folosește \((x-a)^2=t^2\).
Exemplu
\[
(x-1)^2-4|x-1|+3\le 0
\]
\[
t=|x-1|\ge 0 \Rightarrow t^2-4t+3\le 0
\Rightarrow t\in[1,3]
\]
\[
1\le |x-1|\le 3
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
|x-1|\ge 1\\
|x-1|\le 3
\end{cases}
\]
\[
|x-1|\ge 1 \Rightarrow x\in(-\infty,0]\cup[2,\infty),\qquad
|x-1|\le 3 \Rightarrow x\in[-2,4]
\]
\[
S=[-2,0]\cup[2,4]
\]
4.Metoda explicitării modulelor (pe intervale)
Algoritmul este similar cu cel de la ecuațiile cu modul:
găsești zerourile expresiilor din module → împarți în intervale → explicitezi modulii → rezolvi și filtrezi soluțiile.