ALGEBRA.MD

1) Linii remarcabile definiții

Linie	Definiție	Notare / Observație
Mediană	segmentul ce unește un vârf cu mijlocul laturii opuse	În \(\triangle ABC\), dacă \(M\) este mijlocul lui \(BC\), atunci \(AM\) este mediană.
Înălțime	dreapta (sau segmentul) dusă dintr-un vârf perpendiculară pe latura opusă	În \(\triangle ABC\), \(AA_1 \perp BC\) ⇒ \(AA_1\) este înălțime.
Bisectoare	semidreapta ce împarte un unghi în două unghiuri egale	\(\angle BAD = \angle DAC\) ⇒ \(AD\) este bisectoare în \(A\).
Mediatoare	dreapta perpendiculară pe o latură, trecând prin mijlocul ei	Mediatoarea lui \(BC\): trece prin mijlocul lui \(BC\) și este \(\perp BC\).

Important: cele 3 mediene se intersectează într-un singur punct; la fel și înălțimile, bisectoarele și mediatoarele.

Punct	Se obține ca intersecția	Proprietate
G — centrul de greutate	celor 3 mediane	Împarte fiecare mediană în raport \(2:1\) (de la vârf spre mijloc).
H — ortocentrul	celor 3 înălțimi	În triunghi dreptunghic, \(H\) este chiar vârful unghiului drept.
I — incentru	celor 3 bisectoare	Este centrul cercului înscris; este la distanțe egale de laturi.
O — circumcentru	celor 3 mediatoare	Este centrul cercului circumscris; este la distanțe egale de vârfuri.

Dacă \(M\) este mijlocul lui \(BC\), atunci pe mediană \(AM\): \[ \frac{AG}{GM}=2 \] adică \(AG=\frac{2}{3}AM\) și \(GM=\frac{1}{3}AM\).

În \(\triangle ABC\), dacă \(AD\) este bisectoare și \(D \in BC\), atunci: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC} \]

\(I\) este la aceeași distanță de toate laturile. Această distanță este raza \(r\) a cercului înscris.

\(O\) este la aceeași distanță de vârfuri. Această distanță este raza \(R\) a cercului circumscris.

Cele 3 mediene se intersectează în centrul de greutate \(G\).

Cele 3 înălțimi se intersectează în ortocentrul \(H\).

Bisectoarele se intersectează în \(I\), centrul cercului înscris.

Mediatoarele se intersectează în \(O\), centrul cercului circumscris.