1) Ecuații iraționale radical cu \(x\)
O
ecuație irațională conține necunoscuta sub radical, de tip:
\[
\sqrt{g(x)}=h(x)
\]
Algoritm (safe):
- condiții de existență: \(g(x)\ge 0\) și (de obicei) \(h(x)\ge 0\)
- izolezi radicalul
- ridici la pătrat (cu grijă!)
- rezolvi ecuația obținută
- verifici soluțiile în ecuația inițială (pot apărea soluții false)
Exemplu simplu
\[
\sqrt{x-1}=2
\Rightarrow x-1=4 \Rightarrow x=5
\]
Verificare: \(\sqrt{5-1}=2\) ✓
Exemplu cu soluție falsă
\[
\sqrt{x}=x-2
\]
Condiții: \(x\ge 0\) și \(x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2\).
Pătrat: \(x=(x-2)^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1 \text{ sau } 4\).
Din condiții rămâne doar \(x=4\).
2) Inecuații iraționale \(\sqrt{g(x)} \gtrless h(x)\)
Tipic:
\[
\sqrt{g(x)} \gtrless h(x)
\]
Metodă sigură:
- impui domeniul: \(g(x)\ge 0\)
- verifici semnul lui \(h(x)\): dacă \(h(x)<0\), compari cu \(\sqrt{g(x)}\ge 0\)
- când ambele părți sunt \(\ge 0\), poți pătra păstrând sensul
- la final: respecți domeniul și (ideal) verifici
Exemplu
\[
\sqrt{x-1}\ge 3
\]
Domeniu: \(x\ge 1\). Pătrăm:
\[
x-1\ge 9 \Rightarrow x\ge 10
\]
Soluție: \([10,\infty)\).
Exemplu (caz cu \(h(x)<0\))
\[
\sqrt{x}\le x-1
\]
Dacă \(x<1\), atunci \(x-1<0\) dar \(\sqrt{x}\ge 0\) ⇒ imposibil.
Deci lucrăm pe \(x\ge 1\) și pătrăm:
\[
x\le (x-1)^2 \Rightarrow 0\le x^2-3x+1
\]
(apoi tabel de semne) + verificare.